Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;2;2), B(−3;0;2), mặt phẳng (P): x − y + z − 4 = 0 và các đường thẳng Δ₁: (x − 1)/2 = y/1 = (z + 2)/(-1), Δ₂: (x − 1)/1 = (y − 2)/1 = (z + 2)/2.

29/40

Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( {1;2;2} \right)\), \(B\left( { - 3;0;2} \right)\), mặt phẳng \(\left( P \right):x - y + z - 4 = 0\) và các đường thẳng \({\Delta _1}:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 2}}{{ - 1}},{\Delta _2}:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{y}{{ - 2}} = \frac{{z + 2}}{2}\), \({\Delta _3}:\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{z}{1}\) và \({\Delta _4}:\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 + 3t\\y = 2 - t\\z = - 3\end{array} \right.\). Những phương án nào dưới đây đúng?

Chọn tất cả các đáp án đúng (MSQ)

1. Phương trình mặt cầu đường kính \(AB\) là \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 5\).

2. Gọi \(D\) là điểm thay đổi trên mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(E\) là điểm thay đổi trên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\). Chu vi tam giác \(ADE\) có giá trị nhỏ nhất bằng \(2\sqrt {11} \).

3. Đường thẳng \(\Delta \) cắt cả 4 đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2},{\Delta _3},{\Delta _4}\) có một véc tơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( {3;2;2} \right)\).

4. Nếu mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua \(A\) cắt các trục \[Ox,Oy,Oz\] lần lượt tại \(M,N,P\) sao cho tam giác \(MNP\) có trọng tâm là \(A\)thì phương trình của \(\left( \alpha \right)\) là \(2x + y + z - 6 = 0\).

Giải thích

1. Sai. Mặt cầu đường kính \(AB\)có tâm \(I\left( { - 1;1;2} \right)\) và bán kính \(R = \frac{{AB}}{2} = \sqrt 5 \)

Do đó phương trình mặt cầu đường kính \(AB\) là \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 5\).

2. Đúng. Kiểm tra trực tiếp, ta thấy \(A \notin \left( P \right)\) và \(A \notin \left( {Oxy} \right)\).

Gọi \({A_1},{A_2}\) lần lượt là điểm đối xứng với \(A\) qua \(\left( P \right)\) và \(\left( {Oxy} \right)\).

Suy ra \({A_1}\left( {3;0;4} \right)\) và \({A_2}\left( {1;2; - 2} \right)\).

Ngoài ra, do điểm \(A\), hai mặt phẳng\(\left( P \right)\) và \(\left( {Oxy} \right)\) cố định nên hai điểm \({A_1},{A_2}\) cố định.

Khi đó, với mọi \(D \in \left( P \right),E \in \left( {Oxy} \right)\), ta có \(DA = D{A_1},EA = E{A_2}\).

Chu vi \(\Delta ADE\):

\(P\left( {\Delta ADE} \right) = AD + DE + EA = {A_1}D + DE + E{A_2} \ge {A_1}{A_2} = 2\sqrt {11} \)

Dấu xảy ra khi \({A_1},D,E,{A_2}\) thẳng hàng.

3. Sai. Dễ thấy \[{\Delta _1} \cap {\Delta _2} = C\left( {1;0; - 2} \right)\] và \(\left[ {\overrightarrow {{u_{{\Delta _1}}}} ,\overrightarrow {{u_{{\Delta _2}}}} } \right] = \left( {0; - 5; - 5} \right)\).

Suy ra phương trình mặt phẳng chứa hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) là \(\left( \alpha \right):y + z + 2 = 0\).

Gọi \(D = {\Delta _3} \cap \left( \alpha \right) \Rightarrow D\left( { - 2; - 1; - 1} \right)\) và \(E = {\Delta _4} \cap \left( \alpha \right) \Rightarrow E\left( {1;1; - 3} \right)\). Suy ra \(\overrightarrow {DE} = \left( {3;2; - 2} \right)\).

Dễ thấy \(\overrightarrow {DE} = \left( {3;2; - 2} \right)\) và \(\overrightarrow {{u_{{\Delta _1}}}} = \left( {2;1; - 1} \right)\) không cùng phương; \(\overrightarrow {DE} = \left( {3;2; - 2} \right)\) và \(\overrightarrow {{u_{{\Delta _2}}}} = \left( {1; - 2;2} \right)\) không cùng phương.

Suy ra đường thẳng \(DE\) cắt cả hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\).

Mà \(D = {\Delta _3} \cap \left( \alpha \right)\) và \(E = {\Delta _4} \cap \left( \alpha \right)\) nên đường thẳng \(DE\) cắt cả bốn đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2},{\Delta _3},{\Delta _4}\).

Do đó, một véc tơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( {3;2; - 2} \right)\).

4. Đúng. Ta thấy mặt phẳng \(\left( \alpha \right):2x + y + z - 6 = 0\) cắt các trục \[Ox,Oy,Oz\] lần lượt tại \(M\left( {3;0;0} \right)\), \(N\left( {0;6;0} \right)\)\(P\left( {0;0;6} \right)\). Dễ dàng kiểm tra được điểm \(A\left( {1;2;2} \right)\) chính là trọng tâm của tam giác \(MNP\). Chọn ý 2, 4.