Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;1; - 1) và đường thẳng d: (x - 4)/2 = (y - 4)/2 =(z - 2)/( - ) Gọi H(a;b;c) là hình chiếu vuông góc của điểm

16/22

Trong không gian \[Oxyz,\] cho điểm \(A(1;1; - 1)\) và đường thẳng \(d:\frac{{x - 4}}{2} = \frac{{y - 4}}{2} = \frac{{z - 2}}{{ - 1}}.\) Gọi \[H(a;b;c)\] là hình chiếu vuông góc của điểm \(A\) trên đường thẳng \(d.\) Tính tổng \(a + b + c.\)

Giải thích

Đáp án: 7.

Gọi \((\alpha )\) là mặt phẳng qua \(A\) và vuông góc với \(d.\) Khi đó, \((\alpha ):2x + 2y - z - 5 = 0.\)

Ta có \(d:\frac{{x - 4}}{2} = \frac{{y - 4}}{2} = \frac{{z - 2}}{{ - 1}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4 + 2t\\y = 4 + 2t\\z = 2 - t\end{array} \right.\) thay vao phương trình của \((\alpha )\) được

\(2(4 + 2t) + 2(4 + 2t) - (2 - t) - 5 = 0 \Leftrightarrow 9t + 9 = 0 \Rightarrow t = - 1 \Rightarrow H(2;2;3)\)

Vậy \(a + b + c = 2 + 2 + 3 = 7.\)

Cách khác

Ta có: \(d{\rm{ qua }}M(4;4;2){\rm{, vtcp }}\vec u = (2;2; - 1);\overrightarrow {MA} = ( - 3; - 3; - 3).\)

\[\overrightarrow {MH} = \frac{{\overrightarrow {MA} .\vec u}}{{|\vec u{|^2}}}.\vec u = \frac{{ - 3.2 - 3.2 + 3}}{{4 + 4 + 1}}\vec u = - \vec u = ( - 2; - 2;1)\]\( \Rightarrow H(2;2;3) \Rightarrow a + b + c = 7.\)