Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; 1; 1) và đường thẳng d' có phương trình tham số x = 2 – t; y = 3 + 2t; z = 4t. Gọi d là đường thẳng đi qua A và song song với d'. Các mệnh đề sau đúng hay

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.                     b) Đúng.               c) Sai.                    d) Đúng.

a) Đúng. Dựa vào hệ số của tham số t trong phương trình tham số của d', ta trích xuất được ngay vectơ chỉ phương là \(\vec u = \left( { - 1;2;4} \right)\).

b) Đúng. Đường thẳng d song song với d' nên nhận \(\vec u = \left( { - 1;2;4} \right)\) làm vectơ chỉ phương.

Phương trình tham số của d đi qua A(1; 1; 1) là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 - t}\\{y = 1 + 2t}\\{z = 1 + 4t}\end{array}} \right.\).

Thay t = 1 vào phương trình của d, ta được \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{0 = 1 - t}\\{3 = 1 + 2t}\\{5 = 1 + 4t}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = 1}\\{t = 1}\\{t = 1}\end{array}} \right.\).

Vì hệ có nghiệm duy nhất t = 1 nên điểm B thuộc d.

c) Sai. Vì đường thẳng d song song với đường thẳng d' theo giả thiết đã cho nên chúng không có điểm chung, do đó chúng không thể cắt nhau.

d) Đúng. Đường thẳng d đi qua điểm A(1; 1; 1) và nhận \(\vec u = \left( { - 1;2;4} \right)\) làm vectơ chỉ phương nên phương trình chính tắc là: \(\frac{{x - 1}}{{ - 1}} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z - 1}}{4}\).