Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;1;1), mặt phẳng (P):x + y + z - 3 = 0\]

92/235

Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;1;1), mặt phẳng

\[(P):x + y + z - 3 = 0\]

và đường thẳng

\[d:\;\frac{{x - 2}}{1} = \frac{y}{2} = \frac{{z - 1}}{{ - 1}}.\]

Xét đường thẳng $\Delta $ qua A, nằm trong (P) và cách đường thẳng d một khoảng cách lớn nhất.

Đường thẳng $\Delta $ đi qua điểm nào dưới đây?

M(2;1;0)

N(1;-1;3)

P(-3;3;3)

Q(1;2;4)

Giải thích

Phương pháp giải:

Xác định phương trình đường thẳng $\Delta $

Giải chi tiết:

$Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;1;1), mặt phẳng \[(P):x + y + z - 3 = 0\] (ảnh 1)$

Gọi H(x;y;z) là hình chiếu vuông góc của A trên d.

Ta có:

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{H \in d}\\{\overrightarrow {AH} \cdot \overrightarrow {{u_d}} = 0}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{x - 2}}{1} = \frac{y}{2} = \frac{{z - 1}}{{ - 1}}}\\{(x - 1) + 2(y - 1) - (z - 1) = 0}\end{array}} \right. \Rightarrow H(2;0;0).\]

Khi đó:

\[d(\Delta ,d) \le AH = \sqrt 3 .\]

Dấu bằng xảy ra khi $\Delta \bot AH$ và $\Delta \subset (P)$

Suy ra vectơ chỉ phương của $(\Delta ):$

\[\overrightarrow {{u_\Delta }} = [\overrightarrow {AH} ,\overrightarrow {{n_P}} ] = (0; - 2;2).\]

Phương trình $(\Delta ):$

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{y = 1 - 2t}\\{z = 1 + 2t}\end{array}} \right.\;(t \in \mathbb{R}).\]

Đường thẳng đi qua N(1;-1;3).

Mở rộng:

· Công thức tổng quát: Khoảng cách giữa đường thẳng và điểm → dùng hình chiếu vuông góc.

· Đường thẳng qua A, nằm trong (P), cách d xa nhất → chính là đường thẳng song song với pháp tuyến của d trong (P).