Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;1;1), mặt phẳng (P):x + y + z - 3 = 0

34/235

Trong không gian Oxyz, cho điểm \(A(1;1;1)\), mặt phẳng \((P):x + y + z - 3 = 0\) và đường thẳng \(d:\frac{{x - 2}}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{{ - 1}}\). Xét đường thẳng \(\Delta \) qua \(A\), nằm trong \((P)\) và cách đường thẳng \(d\) một khoảng cách lớn nhất. Đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm nào dưới đây?

\(M(2;1;0)\)

\(N(1; - 1;3)\)

\(P( - 3;3;3)\)

\(Q(1;2;4)\)

Giải thích

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Xác định phương trình đường thẳng \(\Delta \)

Lời giải

Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;1;1), mặt phẳng (P):x + y + z - 3 = 0 (ảnh 1)

Gọi \(H(x;y;z)\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) trên \(d\).

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{H \in d}\\{\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {{u_d}} = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{x - 2}}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{{ - 1}}}\\{1(x - 1) + 2(y - 1) - 1(z - 1) = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{y = 0}\\{z = 0}\end{array} \Rightarrow H(2;0;0)} \right.} \right.} \right.\)

Khi đó \(d(\Delta ,d) \le AH = \sqrt 3 \).

Dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow \Delta \bot AH\).

Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\Delta \bot AH}\\{\Delta \subset (P)}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {{u_\Delta }} \bot \overrightarrow {AH} }\\{\overrightarrow {{u_\Delta }} \bot \overrightarrow {{n_P}} }\end{array} \Rightarrow } \right.} \right.\) VTCP của \(\Delta \) là \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left[ {\overrightarrow {AH} ,\overrightarrow {{n_P}} } \right] = (0; - 2;2)\).

Suy ra phương trình của \(\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{y = 1 - 2t}\\{z = 1 + 2t}\end{array},(t \in \mathbb{R})} \right.\).

Ta thấy \(\Delta \) đi qua điểm \(N(1; - 1;3)\).