Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; 0; 2) và hai đường thẳng d: x/1 = y-1/2 = z/2; d': x+1/2 = y+2/2 = z-3/-1

a) Đường thẳng d đi qua điểm \({\rm{M}}(0;1\); 0) và có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}}  = (1;2;2)\)

Đường thẳng d' đi qua điển \({\rm{N}}( - 1; - 2;3)\) và có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}}  = (2;2; - 1)\)

Có \(\overrightarrow {MN}  = ( - 1; - 3;3),\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = ( - 6;5; - 2) \ne \vec 0\)

Có \(\overrightarrow {MN} .\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = 6 - 15 - 6 =  - 15 \ne 0\)

Suy ra d và d' chéo nhau.

b) Vi \(\Delta //{\rm{d}}\) nên đường thẳng \(\Delta \) nhận \(\overrightarrow {{u_1}}  = (1;2;2)\) làm một vectơ chỉ phương.

Đường thẳng \(\Delta \) đi qua \({\rm{A}}(1;0;2)\) và nhận \(\overrightarrow {{u_1}}  = (1;2;2)\) làm một vectơ chỉ phương có phương trình là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + t}\\{y = 2t}\\{z = 2 + 2t}\end{array}} \right.\)

c) Có \(\overrightarrow {AM}  = ( - 1;1; - 2),\left[ {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {{u_1}} } \right] = (6;0; - 3)\)

Mặt phằng \(({\rm{P}})\) đi qua \({\rm{A}}(1;0;2)\) và nhận \(\vec n = \frac{1}{3}\left[ {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {{u_1}} } \right] = (2;0; - 1)\) làm một vectơ pháp tuyến có phương trình là: \(2(x - 1) - (z - 2) = 0\) hay \(2x - z = 0\).

d) Mặt phẳng (Oxz) có phương trình là: \(y = 0\).

Tọa độ giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng (Oxz) là nghiệm của hệ:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{x}{1} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{z}{2}}\\{y = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - \frac{1}{2}}\\{y = 0}\\{z =  - 1}\end{array}} \right.} \right.\). Vậy giao điểm cần tìm có tọa độ là \(\left( { - \frac{1}{2};0; - 1} \right)\)