Trong không gian Oxyz, cho điểm A(0;2; - 1), B(1; - 3;6). Gọi M thuộc tia Oy sao cho tam giác ABM vuông tại M. Tính diện tích tam giác

Vì \(M\) thuộc tia \(Oy\) nên \(M\left( {0;y;0} \right)\) với \(y \ge 0\).

Ta có các vectơ: \(\overrightarrow {MA} = \left( {0;2 - y; - 1} \right)\); \(\overrightarrow {MB} = \left( {1; - 3 - y;6} \right)\).

Vì tam giác \(ABM\) vuông tại \(M\) nên \(\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MB} = 0\)\( \Leftrightarrow 0 \cdot 1 + \left( {2 - y} \right)\left( { - 3 - y} \right) + \left( { - 1} \right) \cdot 6 = 0\)

\( \Leftrightarrow - 6 - 2y + 3y + {y^2} - 6 = 0 \Leftrightarrow {y^2} + y - 12 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = 3}\\{y = - 4}\end{array}} \right.\).

Do \(M\) thuộc tia \(Oy\) nên chọn \(y = 3 \Rightarrow M\left( {0;3;0} \right)\).

Khi đó: \(\overrightarrow {MA} = \left( {0; - 1; - 1} \right) \Rightarrow MA = \sqrt {{0^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} = \sqrt 2 \);

\(\overrightarrow {MB} = \left( {1; - 6;6} \right) \Rightarrow MB = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 6} \right)}^2} + {6^2}} = \sqrt {73} \).

Vì tam giác \(ABM\) vuông tại \(M\), diện tích tam giác là:

\({S_{{\rm{\Delta }}ABM}} = \frac{1}{2}MA \cdot MB = \frac{1}{2}\sqrt 2 \cdot \sqrt {73} = \frac{{\sqrt {146} }}{2} \approx 6,0415\).

Làm tròn đến hàng phần trăm ta được \(6,04\).

Đáp án: 6,04.