Trong không gian Oxyz, cho điểm A (4;0;0), B (1;2;3). Gọi M là điểm di động thỏa mãn vectoOM*vecto OA = căn 3.OM.OA/2

47/50

Trong không gian Oxyz, cho điểm A (4;0;0), B (1;2;3). Gọi M là điểm di động thỏa mãn OM→.OA→=3OM.OA2 và MA→.MO→=0. Gọi p,q lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của BM. Giá trị p2+q2 bằng

34−239

34+239

Giải thích

Đáp án đúng là: A

Trong không gian Oxyz, cho điểm A (4;0;0), B (1;2;3). Gọi M là điểm di động thỏa mãn vectoOM*vecto OA = căn 3.OM.OA/2 (ảnh 1)

Ta có: OM→.OA→=3OM.OA2⇔cosOM→,OA→=32⇒OM→,OA→=30°.

Mặt khác, MA→.MO→=0 nên điểm M thuộc đường tròn tâm I bán kính r là đáy chung của hai hình nón đỉnh A và hình nón đỉnh O.

Ta tính được: IA=1; IO=3; r=3; OI→=3IA→⇔I3;0;0.

Mặt phẳng (P)chứa đường tròn đáy qua I (3;0;0), VTPT OA→=4;0;0 có phương trình: x - 3 = 0.

Nhận xét: O, B cùng phía với P; dB,P=2; dB,OA=13.

Gọi H, J là hình chiếu của B lên (P) và OA⇒BJ=13=IH, BH=2=IJ.

Ta có BM=BH2+MH2≤BH2+IH+r2=4+3+132=20+239=p.

BM=BH2+MH2≥BH2+IH−r2=4+3−132=20−239=q.

Vậy p2+q2=40.