Trong không gian \[Oxyz\], cho điểm A (2;1;3) , đường thẳng d : x+ 1/ 1 = y -1 / -2 = z - 2/2

17/22

Trong không gian \[Oxyz\], cho điểm \(A\left( {2;\,1;\,3} \right)\), đường thẳng \(d:\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{{z - 2}}{2}\) và mặt phẳng \[\left( P \right):x + y - 2z + 2 = 0\]. Phương trình chính tắc của đường thẳng \[\Delta \] đi qua \(A\), song song với mặt phẳng \(\left( P \right)\) và vuông góc với đường thẳng \(d\) có dạng:\(\frac{{x + a}}{b} = \frac{{y - 5}}{c} = \frac{{z + d}}{3}\). Giá trị của biểu thức \(M = a + b + c + d\)bằng bao nhiêu?

Giải thích

Đường thẳng \[d\] có 1 VTCP \[\overrightarrow {{u_d}} = \left( {1;\, - 2;2} \right)\]

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có 1 VTPT \[\overrightarrow n = \left( {1;1; - 2} \right)\], gọi \[\overrightarrow u \] là 1 VTCP của đường thẳng \[\Delta \]

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta \bot d\\\Delta //\left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow u \bot \overrightarrow {{u_d}} \\\overrightarrow u \bot \overrightarrow n \end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow u = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow n } \right] = \left( {2;4;3} \right)\).

Suy ra PTTS của đường thẳng \[\Delta \] :\[\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 3t\\y = 1 + 4t\\z = 3 + 3t\end{array} \right.\]. Chọn \(t = 1 \Rightarrow \Delta \)đi qua điểm \(M\left( {5;5;6} \right)\)

Suy ra PTCT của đường thẳng \[\Delta \]: \(\frac{{x - 5}}{2} = \frac{{y - 5}}{4} = \frac{{z - 6}}{3}\)\( \Rightarrow a = - 5,b = 2,c = 4,d = - 6 \Rightarrow M = - 5\).