Trong không gian Oxyz , cho điểm A ( 2 ; 1 ; 1 ) và đường thẳng d : x = 1 + 2t; y = t; z = − 2 − t . Phương trình mặt phẳng ( α ) chứa đường thẳng d và cách A một khoảng lớn nhất

17/50

Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( {2;1;1} \right)\) và đường thẳng \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 2t}\\{y = t}\\{z = - 2 - t}\end{array}} \right.\). Phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) chứa đường thẳng \(d\) và cách \(A\) một khoảng lớn nhất là:

\(2x + y - z - 4 = 0\).

\(x + y + 3z + 5 = 0\).

\( - 4x + 7y + z - 6 = 0\).

\(4x - 7y + z = 0\).

Giải thích

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(A\) trên \(d\).

\(H\left( {1 + 2t;t; - 2 - t} \right) \in d \Rightarrow \overrightarrow {AH} = \left( {2t - 1;t - 1; - t - 3} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {2;1; - 1} \right)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

\(AH \bot d \Rightarrow \overrightarrow {AH} \cdot \overrightarrow {{u_d}} = 0 \Rightarrow 2\left( {2t - 1} \right) + t - 1 - \left( { - t - 3} \right) = 0 \Rightarrow t = 0\)

\( \Rightarrow H\left( {1;0; - 2} \right)\).

Do đó \(\overrightarrow {AH} = \left( { - 1; - 1; - 3} \right)\).

Mặt phẳng (\(\alpha \)) chứa đường thẳng \(d\) và cách \(A\) một khoảng lớn nhất khi và chỉ khi \(\overrightarrow {AH} \bot \left( \alpha \right)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {{n_\alpha }} = \overrightarrow {AH} = \left( { - 1; - 1; - 3} \right)\).

Mặt khác, (\(\alpha \)) đi qua \(H\left( {1;0; - 2} \right)\) nên:\(\left( \alpha \right):x - 1 + y + 3\left( {z + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x + y + 3z + 5 = 0\). Chọn B.