Trong không gian Oxyz cho điểm A ( 2 ; 1 ; 1 ) và đường thẳng d : x = 1 + 2 t; y = t; z = − 2 − t . Tìm phương trình mặt phẳng ( α ) chứa đường thẳng d và cách A một khoảng lớn nhấ

Gọi K là hình chiếu vuông góc của A trên đường thẳng d và H là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\). Khi đó \(d\left( {A,\left( \alpha \right)} \right) = AH \le AK\).

Vậy: \(d\left( {A,\left( \alpha \right)} \right)\) lớn nhất khi \(H \equiv K\). Khi đó \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng chứa d và vuông góc với AK.

\(K \in d \Rightarrow K = \left( {1 + 2t;\;t;\; - 2 - t} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {AK} = \left( {2t - 1;\;t - 1;\; - t - 3} \right)\).

\(AK \bot d \Leftrightarrow \overrightarrow {AK} .{\vec u_d} = 0 \Leftrightarrow 2\left( {2t - 1} \right) + 1\left( {t - 1} \right) - 1\left( { - t - 3} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow t = 0\).

Phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) qua \(M\left( {1;\;{\rm{0;}}\; - 2} \right) \in d\) và có vectơ pháp tuyến \(\vec n = \overrightarrow {AK} = \left( { - 1;\; - 1;\; - 3} \right)\) là: \( - 1\left( {x - 1} \right) - 1\left( {y - 0} \right) - 3\left( {z + 2} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow x + y + 3z + 5 = 0\).