Trong không gian Oxyz, cho điểm A (2;1; - 1), B (1;3;1). Gọi (P) là mặt phẳng đi qua hai điểm A,B và song song với trục Oy. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

Lời giải

a) Vì mặt phẳng (P) đi qua A, B và song song với trục Oy nên véctơ pháp tuyến

\[{\vec n_P} = [\overrightarrow {AB} ,\vec j] = (2;0;1)\].

Suy ra phương trình của \[(P):2(x - 2) + 0(y - 1) + 1(z + 1) = 0 \Leftrightarrow 2x + z - 3 = 0\]. Vậy a sai.

b) Theo định nghĩa, véctơ pháp tuyến của một mặt phẳng vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó. Vậy b đúng.

c) Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) chứa trục \(Oy\) nên \(\left( Q \right)\) có dạng \[Ax + Cz = 0\].

Hình chiếu của \[A(2;1; - 1)\]lên trục Oy là \[H\left( {0;1;0} \right)\].

Khoảng cách từ \(A\) đến \(\left( Q \right)\) lớn nhất khi \(\left( Q \right)\) vuông góc với \(AH\) tại \(H\).

Khi đó: \[{\vec n_Q} = \overrightarrow {HA}  = (2;0; - 1).\]

Phương trình \[(Q):2(x - 0) + 0(y - 1) - 1(z - 0) = 0 \Leftrightarrow 2x - z = 0\].

Ta có: \[b = 0,\,\,c =  - 1,\,\,d = 0.\] Vậy \[b + c + d = 0 + ( - 1) + 0 =  - 1\]. Vậy c sai.

d) \[d(M,(P)) = \frac{{|2( - 3) + ( - 2) - 3|}}{{\sqrt {{2^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \frac{{| - 6 - 2 - 3|}}{{\sqrt 5 }} = \frac{{11}}{{\sqrt 5 }} = \frac{{11\sqrt 5 }}{5}\]. Vậy d đúng.