Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(A(2;1;0)\) mặt phẳng \((P): - x + 2y - 4z + 4 = 0\) và mặt phẳng \((Q): - x + 2y - 4z + 10 = 0\). (a) \((P)\) vuông góc với \((Q)\). (b) Mặt phẳng \((\al

a) Ta có \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( { - 1;2; - 4} \right),\overrightarrow {{n_Q}} = \left( { - 1;2; - 4} \right)\) lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) và (Q).

Ta có \(\overrightarrow {{n_P}} = \overrightarrow {{n_Q}} \) và \(4 \ne 10\) nên (P) // (Q).

b) Có \(\overrightarrow {OA} = \left( {2;1;0} \right)\), \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {{n_P}} } \right] = \left( { - 4;8;5} \right)\).

Mặt phẳng (α) đi qua O và nhận \(\overrightarrow n = \left( { - 4;8;5} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là

\( - 4x + 8y + 5z = 0\).

Suy ra \(a = - 4;b = 8;d = 0\). Khi đó \(a + b + d = 4\).

c) Lấy điểm B(0; 0; 1) ∈ (P).

Ta có \(d\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = d\left( {B,\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| { - 4 + 10} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = \frac{6}{{\sqrt {21} }}\).

d) \(d\left( {A,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| { - 2 + 2.1 - 4.0 + 4} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = \frac{4}{{\sqrt {21} }}\).

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.