Trong không gian Oxyz , cho điểm A( {1,1,3}). Gọi H là hình chiếu của A lên đường thẳng

32/234

Trong không gian Oxyz , cho điểm \(A\left( {1,1,3} \right)\). Gọi \(H\) là hình chiếu của \(A\) lên đường thẳng

\(\left( l \right):\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}x&{ = 1 + t}\\y&{ = 1 + t}\\z&{ = t}\end{array}} \right.\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(AH\) và \(\left( P \right):x + by + cy + d = 0\) là mặtphẳng chứa \(M\) sao cho khoảng cách từ \(A\) tới \(\left( P \right)\) bằng độ dài đoạn \(AM\). Tổng \(c + d\) bằng

-1

-2

Giải thích

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Viết phương trình mặt phẳng đi qua M và nhận \(\overrightarrow {AH} \) làm vectơ pháp tuyến.

Lời giải

\(H\left( {1 + t;1 + t;t} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AH} = \left( {t;t;t - 3} \right)\).

Có \(AH \bot \left( l \right) \Rightarrow t = 1\)

Do đó, \(H\left( {2;2;1} \right),M\left( {\frac{3}{2},\frac{3}{2},2} \right)\).

Vì khoảng cách từ \(A\) tới mặt phẳng \(\left( P \right)\) bằng \(AM,M \in \left( P \right)\) nên \(AM \bot \left( P \right)\).

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) nhận \(\overrightarrow {AH} = \left( {1,1, - 2} \right)\) làm vectơ pháp tuyến và qua \(M\left( {\frac{3}{2},\frac{3}{2},2} \right)\).

Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right):x + y - 2z + 1 = 0\)