Trong không gian Oxyz , cho điểm A ( 0 ; 0 ; √ 3 ) và điểm B thay đổi thuộc mặt phẳng ( Oxy ) sao cho diện tích tam giác OAB bằng √ 3 2 . Gọi C là điểm trên tia Oz thỏa mãn d [

78/91

Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( {0;0;\sqrt 3 } \right)\) và điểm \(B\) thay đổi thuộc mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) sao cho diện tích tam giác \(OAB\) bằng \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\). Gọi \(C\) là điểm trên tia \(Oz\) thỏa mãn \(d\left[ {C,AB} \right] = d\left[ {C,OB} \right] = \alpha \). Thể tích của khối tròn xoay tạo bởi tập hợp tất cả các điểm \(M\) mà \(CM \le \alpha \) bằng _____ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)

Click vào chỗ trống để nhập đáp án. Nhấn Enter để xác nhận, Esc để hủy.

Giải thích

Đáp án đúng là: 0,81

Giải chi tiết

Tam giác\(\;OAB\) vuông tại \(O \Rightarrow {\rm{\;}}\frac{1}{2}\)\(OB.OA = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow OB = 1 \Rightarrow B\) nằm trên đường tròn tâm \(O\left( {0;0} \right)\), bán kính \(r = 1\). Ta có \({\rm{tan}}\angle OBA = \frac{{OA}}{{OB}} = \sqrt 3 .\angle OBA = {60^0}\).
Theo bài ra \(d\left[ {C,AB} \right] = d\left[ {C,OB} \right] = \alpha \Rightarrow C \in \) tia \(Oz\) và nằm trên tia phân giác trong của \(\angle OBA \Rightarrow C\) là chân đường phân giác trong của góc \(B \Rightarrow \angle OBC = \frac{{\angle OBA}}{2} = {30^0} \Rightarrow OC = \alpha = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\).
Tập hợp các điểm \(M\) là khối cầu tâm \(C\),bán kính \(R = \frac{1}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow \) Thể tích khối cầu là \(V = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{4}{3}\pi {\left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)^3} = \frac{{4\pi }}{{9\sqrt 3 }} \approx 0.81\)

Đáp án cần điền là: 0,81