Trong không gian \(Oxyz\), cho \(\Delta ABC\), biết \(A( { - 1;0;3} \right),B( {4;2;0} ),C {3;1; - 3}).

15/22

Trong không gian \(Oxyz\), cho \(\Delta ABC\), biết \(A\left( { - 1;0;3} \right),B\left( {4;2;0} \right),C\left( {3;1; - 3} \right)\).

a) \(\overrightarrow {OA} = - \overrightarrow i + 3\overrightarrow k \).

b) \(G\left( {2;1;0} \right)\) là trọng tâm tam giác \(ABC\).

c)\(M\left( {a;b;c} \right)\) thỏa mãn \(\overrightarrow {AM} = 3\overrightarrow {CB} \). Khi đó \(a + b + c = - 13\).

d)\(M\left( {a;b;c} \right) \in Ox\) sao cho \(BM\) vuông góc với đường thẳng \(AC\). Khi đó \(4{a^2} + {b^2} + {c^2} = 162.\)

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

a) Đ, b) Đ, c) S, d) S

a) \(\overrightarrow {OA} = - \overrightarrow i + 3\overrightarrow k \).

b) Vì \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{ - 1 + 4 + 3}}{3} = 2\\{y_G} = \frac{{0 + 2 + 1}}{3} = 1\\{z_G} = \frac{{3 + 0 - 3}}{3} = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow G\left( {2;1;0} \right)\).

c) Ta có \(\overrightarrow {AM} = \left( {a + 1;b;c - 3} \right)\), \(\overrightarrow {CB} = \left( {1;1;3} \right)\).

Vì \(\overrightarrow {AM} = 3\overrightarrow {CB} \) nên \(\left\{ \begin{array}{l}a + 1 = 3\\b = 3\\c - 3 = 9\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 3\\c = 12\end{array} \right.\)\( \Rightarrow a + b + c = 17\).

d) \(M\left( {a;b;c} \right) \in Ox \Rightarrow M\left( {a;0;0} \right)\).

Có \(\overrightarrow {BM} = \left( {a - 4; - 2;0} \right)\); \(\overrightarrow {AC} = \left( {4;1; - 6} \right)\).

Để \(BM\) vuông góc với đường thẳng \(AC\) khi

\(\overrightarrow {BM} \bot \overrightarrow {AC} \Leftrightarrow \overrightarrow {BM} \cdot \overrightarrow {AC} = 0\)\( \Leftrightarrow 4\left( {a - 4} \right) - 2 \cdot 1 = 0 \Leftrightarrow 4a = 18 \Leftrightarrow a = \frac{9}{2}\).

Do đó \(4{a^2} + {b^2} + {c^2} = 81\).