Trong không gian Oxyz , cho các mặt phẳng ( P ) : x − y + 2z + 1 = 0 , ( Q ) : 2x + y + z − 1 = 0. Gọi ( S ) là mặt cầu có tâm thuộc trục hoành, đồng thời ( S ) cắt mặt phẳng ( P theo

Giải chi tiết:

Gọi \(I\) là tâm mặt cầu \(\left( S \right)\). Ta có \(I\left( {a;0;0} \right).\)

Do \(\left( S \right)\) cắt \(\left( P \right)\) theo giao tuyến là đường tròn bán kính \(2\) nên ta có:

\(4 = {R^2} - {[d(I,(P))]^2} \Leftrightarrow 4 = {R^2} - \frac{{{{(a + 1)}^2}}}{6} \Rightarrow {R^2} = 4 + \frac{{{{(a + 1)}^2}}}{6}\quad (1)\)

Do \(\left( S \right)\) cắt \(\left( Q \right)\) theo giao tuyến là đường tròn bán kính \(r\) nên ta có:

\({r^2} = {R^2} - {[d(I,(Q))]^2} \Leftrightarrow {r^2} = {R^2} - \frac{{{{(2a - 1)}^2}}}{6}\quad (2)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) ta có:

\({r^2} = 4 + \frac{{{{(a + 1)}^2}}}{6} - \frac{{{{(2a - 1)}^2}}}{6} \Leftrightarrow - {a^2} + 2a + 8 - 2{r^2} = 0\quad (3)\)

Để có duy nhất một mặt cầu \(\left( S \right)\) thỏa mãn thì phương trình \(\left( 3 \right)\) phải có duy nhất \(1\) nghiệm \(a.\)

\( \Rightarrow \Delta ' = 1 - ( - 1)(8 - 2{r^2}) = 9 - 2{r^2} = 0 \Rightarrow r = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}.\)

Đáp án cần chọn là: D