Trong không gian \[Oxyz\] cho các mặt phẳng \((P):x + 2y + z + 10 = 0\),\((Q): - x + y + 2z + 13 = 0\)

Đáp án: a) Sai   b) Sai   c) Đúng   d) Đúng

a) Vectơ \[\overrightarrow {{n_1}}  = (1,2,1)\] là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\).

b) Vectơ \[\overrightarrow {{n_2}}  = ( - 1,1,2)\] là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((Q)\).

 Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai mặt phẳng \((P)\) và \((Q)\).

Ta có \[{\rm{cos}}\alpha  = \left| {{\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{1}{2} \Rightarrow \alpha  = {60^o}\].

c) Vectơ \[\overrightarrow {{n_3}}  = (m,1,0)\] là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((R)\).

\((Q) \bot (R) \Leftrightarrow \overrightarrow {{n_2}} .\overrightarrow {{n_3}}  = 0 \Leftrightarrow  - m + 1 = 0 \Leftrightarrow m = 1.\)

d)  Gọi \(\beta \) là góc giữa hai mặt phẳng \((P)\) và \((R)\).

Ta có \[{\rm{cos}}\beta  = \frac{{\left| {m + 2} \right|}}{{\sqrt 6 .\sqrt {{m^2} + 1} }}\], \[\cos \]của góc giữa hai mặt phẳng \((P)\) và \((R)\) bằng \(\frac{{\sqrt {15} }}{6}\) khi

\[\frac{{\left| {m + 2} \right|}}{{\sqrt 6 .\sqrt {{m^2} + 1} }} = \frac{{\sqrt {15} }}{6} \Leftrightarrow 2.{\left( {m + 2} \right)^2} = 5.\left( {{m^2} + 1} \right) \Leftrightarrow  - 3{m^2} + 8m + 3 = 0 \Leftrightarrow m = 3,m = \frac{{ - 1}}{3}\]