Trong không gian Oxyz, cho các đường thẳng delta x = -t , y = 2 - 3t và z = 1 + 2t

15/22

Trong không gian , cho các đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = - t\\y = 2 - 3t\\z = 1 + 2t\end{array} \right.\), \(\Delta ':\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y + 2}}{2} = \frac{{z + 2}}{2}\) và \(d\) là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y - z + 1 = 0\) và \(\left( Q \right):2x + 3z - 2 = 0\).

Gọi \[\overrightarrow u \] và \[\overrightarrow {u'} \] lần lượt là các vectơ chỉ phương của hai đường thẳng \(\Delta \) và \(\Delta '\). Khi đó\(\cos \left( {\Delta ,\Delta '} \right) = \frac{{\overrightarrow {u.} \overrightarrow {u'} }}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow {u'} } \right|}}\).

ĐúngSai

Côsin góc giữa hai đường thẳng \(\Delta \) và trục \[Ox\]bằng \(\frac{{\sqrt {14} }}{{14}}\).

ĐúngSai

Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai đường thẳng \(\Delta \) và \(\Delta '\). Khi đó \(\cos \alpha = \frac{5}{{\sqrt {238} }}\).

ĐúngSai

Góc giữa hai đường thẳng \(d\) và \(\Delta '\) bằng \({90^0}\).

ĐúngSai

Giải thích

a) S

b) Đ

c) Đ

d) Đ

* Phương án a) sai: vì \(\cos \left( {\Delta ,\Delta '} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {u.} \overrightarrow {u'} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow {u'} } \right|}}\)

* Phương án b) đúng:

Đường thẳng \[\Delta \] có vectơ chỉ phương là \[\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( { - 1; - 3;2} \right)\]

Trục \[Ox\]có vectơ chỉ phương là \[\overrightarrow i = \left( {1;0;0} \right)\].

Ta có \(\cos \left( {\Delta ,Ox} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{u_\Delta }.} \overrightarrow i } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right|.\left| {\overrightarrow i } \right|}} = \frac{1}{{\sqrt {14} }} = \frac{{\sqrt {14} }}{{14}}\).

* Phương án c) đúng:

Đường thẳng \[\Delta \] có vectơ chỉ phương là \[\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( { - 1; - 3;2} \right)\]

Đường thẳng \[\Delta '\] có vectơ chỉ phương là \[\overrightarrow {{u_{\Delta '}}} = \left( {3;2;2} \right)\]

Ta có \(\cos \alpha = \frac{{\left| {\overrightarrow {{u_\Delta }.} \overrightarrow {{u_{\Delta '}}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right|.\left| {\overrightarrow {{u_{\Delta '}}} } \right|}} = \frac{5}{{\sqrt {14} .\sqrt {17} }} = \frac{5}{{\sqrt {238} }}\).

* Phương án d) đúng:

Hai mặt phẳng \[\left( P \right)\]và \[\left( Q \right)\] có các vectơ pháp tuyến lần lượt là\[\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;2; - 1} \right),\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {2;0;3} \right)\]

Đường thẳng \[d\] có vectơ chỉ phương là \[\overrightarrow {{u_d}} = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = \left( {6; - 5; - 4} \right)\]

Đường thẳng \[\Delta '\] có vectơ chỉ phương là \[\overrightarrow {{u_{\Delta '}}} = \left( {3;2;2} \right)\]

Ta có \(\cos \left( {d,\Delta '} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{u_d}.} \overrightarrow {{u_{\Delta '}}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_d}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{u_{\Delta '}}} } \right|}} = \frac{0}{{\sqrt {77} .\sqrt {17} }} = 0 \Rightarrow \left( {d,\Delta '} \right) = {90^0}\).