Trong không gian Oxyz, cho các đường thẳng

33/234

Trong không gian \(Oxyz\), cho các đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right):\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{{ - 2}} = \frac{{z + 1}}{2}\), \(\left( {{d_2}} \right):\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y - 5}}{3} = \frac{z}{{ - 1}}\) và điểm \(A\left( {1,2, - 1} \right)\). Xét \(B\left( {0,a,b} \right)\) là một điểm trong không gian. Biết đường thẳng \(AB\) vuông góc với \(\left( {{d_1}} \right)\) và cắt đường thẳng \(\left( {{d_2}} \right)\). Đường thẳng \(AB\) song song với đường thẳng nào sau đây:

\(\frac{{x - 1}}{{ - 1}} = \frac{{y - 2}}{{ - 3}} = \frac{z}{3}\).

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}x&{ = 1 - t}\\y&{ = t + 3}\\z&{ = - 2 + \frac{3}{2}t}\end{array}} \right.\).

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}x&{ = 1 - t}\\y&{ = 2 - t}\\z&{ = - 2 - \frac{3}{2}t}\end{array}} \right.\).

\(\frac{{x - 1}}{{ - 1}} = \frac{{y - 2}}{{ - 3}} = \frac{z}{{ - 3}}\).

Giải thích

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Lời giải

Có \(C\left( { - 1,5,0} \right)\) là một điểm thuộc \(\left( {{d_2}} \right)\)

Đường thẳng \(\left( {AB} \right)\) cắt đường thẳng \(\left( {{d_2}} \right)\) nên các vectơ

\(\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;a - 2;b + 1} \right),\overrightarrow {AC} = \left( { - 2;3;1} \right)\) và vectơ chỉ phương \(v = \left( {2;3; - 1} \right)\) của \(\left( {{d_2}} \right)\) đồng phẳng.

Do đó, \(\left[ {\left( { - 2;3;1} \right),\left( {2;3; - 1} \right)} \right].\left( { - 1;a - 2;b + 1} \right) = 0\) hay \(2b - 1 = 0\).

\(\left( {AB} \right)\) vuông góc với \(\left( {{d_1}} \right)\) nên \(\overrightarrow {AB} \left( {1; - 2;2} \right) = 0\) hay \( - 2a + 2b + 5 = 0\).

Vậy \(a = 3,b = \frac{1}{2}\) và \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 1,1,\frac{3}{2}} \right)\).