Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(2;7;5), B(3;6;4), C(1;8;2), D(4;3;2). Tọa độ điểm M sao cho biểu thức T = MA^2 + MB^2 - MC^2 + 2MD^2 đạt giá trị nhỏ nhất là (a;b;c)

Phương pháp giải:

Lựa chọn điểm trung gian và sử dụng phương pháp vectơ.

Giải chi tiết:

Gọi \(I({x_I},{y_I},{z_I})\) là điểm thỏa mãn:

\[\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} - \overrightarrow {IC} + 2\overrightarrow {ID} = \vec 0.\]

Ta có:

        \[{x_I} = \frac{{{x_A} + {x_B} - {x_C} + 2{x_D}}}{{1 + 1 - 1 + 2}} = \frac{{2 + 3 - 1 + 8}}{3} = 4,\]

\[{y_I} = \frac{{{y_A} + {y_B} - {y_C} + 2{y_D}}}{3} = \frac{{7 + 6 - 8 + 6}}{3} = \frac{{11}}{3},\]

  \[{z_I} = \frac{{{z_A} + {z_B} - {z_C} + 2{z_D}}}{3} = \frac{{5 + 4 - 2 + 4}}{3} = \frac{{11}}{3}.\]

Xét:

    \(\)\[\begin{array}{l}T = M{A^2} + M{B^2} - M{C^2} + 2M{D^2}\\ = {(\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} )^2} + {(\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} )^2} - {(\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IC} )^2} + 2{(\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {ID} )^2}\\ = 3M{I^2} + 2\overrightarrow {MI} \cdot (\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} - \overrightarrow {IC} + 2\overrightarrow {ID} ) + I{A^2} + I{B^2} - I{C^2} + 2I{D^2}.\end{array}\]

Do \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} - \overrightarrow {IC} + 2\overrightarrow {ID} = \vec 0\) nên:

                           \[T = 3M{I^2} + I{A^2} + I{B^2} - I{C^2} + 2I{D^2}.\]

Suy ra \(T\) nhỏ nhất khi \(MI = 0\), tức là \(M \equiv I\).

Vậy:

                                \[M\left( {4;\frac{{11}}{3};\frac{{11}}{3}} \right).\]

Do đó:

\[P = \frac{{ab}}{c} = \frac{{4 \cdot \frac{{11}}{3}}}{{\frac{{11}}{3}}} = 4.\]