Trong không gian Oxyz, cho các điểm

84/235

Trong không gian \(Oxyz\), cho các điểm \(M\left( {m;0;0} \right),N\left( {0;n;0} \right),P\left( {0;0;p} \right)\) không trùng với gốc tọa độ và thỏa mãn \({m^2} + {n^2} + {p^2} = 3\). Giá trị lớn nhất của khoảng cách từ \(O\) đến mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\) bằng?

\(\frac{1}{3}\).

\(\sqrt 3 \).

\(\frac{1}{{27}}\).

\(\frac{1}{{\sqrt 3 }}\).

Giải thích

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Xác định phương trình mặt phẳng, áp dụng bất đẳng thức Cauchy

Lời giải

Do \(M,N,P\) không trùng với gốc tọa độ nên \(m \ne 0,n \ne 0,p \ne 0\).

Phương trình mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\) là: \(\frac{x}{m} + \frac{y}{n} + \frac{z}{p} = 1 \Leftrightarrow \frac{1}{m}x + \frac{1}{n}y + \frac{1}{p}z - 1 = 0\)

\( \Rightarrow d\left( {O,\left( {MNP} \right)} \right) = \frac{1}{{\sqrt {\frac{1}{{{m^2}}} + \frac{1}{{{n^2}}} + \frac{1}{{{p^2}}}} }}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương \({m^2},{n^2},{p^2}\) và ba số dương \(\frac{1}{{{m^2}}},\frac{1}{{{n^2}}},\frac{1}{{{p^2}}}\) ta có:

\({m^2} + {n^2} + {p^2} \ge 3\sqrt[3]{{{m^2}{n^2}{p^2}}}\) và

\(\frac{1}{{{m^2}}} + \frac{1}{{{n^2}}} + \frac{1}{{{p^2}}} \ge 3\sqrt[3]{{\frac{1}{{{m^2}{n^2}{p^2}}}}}\)

\( \Rightarrow \left( {{m^2} + {n^2} + {p^2}} \right)\left( {\frac{1}{{{m^2}}} + \frac{1}{{{n^2}}} + \frac{1}{{{p^2}}}} \right) \ge 9\)

\( \Leftrightarrow 3\left( {\frac{1}{{{m^2}}} + \frac{1}{{{n^2}}} + \frac{1}{{{p^2}}}} \right) \ge 9\)

\( \Rightarrow \frac{1}{{{m^2}}} + \frac{1}{{{n^2}}} + \frac{1}{{{p^2}}} \ge 3 \Leftrightarrow \sqrt {\frac{1}{{{m^2}}} + \frac{1}{{{n^2}}} + \frac{1}{{{p^2}}}} \ge \sqrt 3 \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt {\frac{1}{{{m^2}}} + \frac{1}{{{n^2}}} + \frac{1}{{{p^2}}}} }} \le \frac{1}{{\sqrt 3 }}\)

Vậy \(d\left( {O,\left( {MNP} \right)} \right) \le \frac{1}{{\sqrt 3 }}\). Dấu xảy ra \( \Leftrightarrow {m^2} = {n^2} = {p^2} = 1\)

Vậy giá trị lớn nhất của khoảng cách từ \(O\) đến mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\) là \(\frac{1}{{\sqrt 3 }}\)