Trong không gian Oxyz, cho các điểm M(1;2;3)

41/235

Trong không gian \(Oxyz\), cho các điểm \(M\left( {1;2;3} \right)\) và \(N\left( { - 3; - 2; - 1} \right)\). Phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua trung điểm của \(MN\) và vuông góc với đường thẳng \(MN\) là

\(x + y + z = 0\).

\(x + y + z + 6 = 0\).

\(x + y + z - 6 = 0\).

\(x - y - z = 0\).

Giải thích

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Mặt phẳng đi qua trung điểm của một đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng đó được gọi là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng đó.

Để viết phương trình mặt phẳng trung trực \(\left( \alpha \right)\) của đọan thẳng \(MN\), ta có thể làm như sau:

Bước 1: Tìm tọa độ trung điểm I của \(MN\).

Bước 2: Tính \(\overrightarrow {MN} \). Vectơ \(\overrightarrow {MN} \) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).

Bước 3: Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) qua I và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {MN} \).

Lời giải

Tọa độ trung điểm I của \(MN\) là \(I\left( { - 1;0;1} \right)\) và \(\overrightarrow {MN} = \left( { - 4; - 4; - 4} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua I và nhận \(\overrightarrow {MN} = \left( { - 4; - 4; - 4} \right)\) làm vectơ pháp tuyến. Chọn \(\vec n = \left( {1;1;1} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của \(\left( \alpha \right)\). Phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là:

\(1.\left( {x + 1} \right) + 1.\left( {y - 0} \right) + 1.\left( {z - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x + y + z = 0\).