Trong không gian \[Oxyz,\] cho các điểm \[A\left( {1\,;\,\,3\,;\,\,2} \right),B\left( { - 2\,;\,\, - 1\,;\,\,4} \right)\] và hai điểm \[M,\,\,N\] thay đổi trên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \righ

47/150

Trong không gian \[Oxyz,\] cho các điểm \[A\left( {1\,;\,\,3\,;\,\,2} \right),B\left( { - 2\,;\,\, - 1\,;\,\,4} \right)\] và hai điểm \[M,\,\,N\] thay đổi trên mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ sao cho $MN = 1.$ Giá trị nhỏ nhất của $A{M^2} + B{N^2}$ là

Đáp án: ……….

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

$Trong không gian \[Oxyz,\] cho các điểm \[A\left( {1\,;\,\,3\,;\,\,2} \right),B\left( { - 2\,;\,\, - 1\,;\,\,4} \right)\] và hai điểm \[M,\,\,N\] thay đổi trên mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ sao cho $MN = 1.$ Giá trị nhỏ nhất của $A{M^2} + B{N^2}$ là Đáp án: ………. (ảnh 1)$

Gọi $H\left( {1\,;\,\,3\,;\,\,0} \right),\,\,K\left( { - 2\,;\,\, - 1\,;\,\,0} \right)$ là hình chiếu của \[A,\,\,B\] trên ${\rm{mp}}\left( {Oxy} \right)$, độ dài $HK = 5.$

Ta chọn vị trí \[M,\,\,N\] thuộc đoạn \[HK\] như hình vẽ, đặt $HM = a,$$NK = b$ thì $a + b = 4.$

Khi đó $A{M^2} + B{N^2} = A{H^2} + {a^2} + {b^2} + K{B^2} = 4 + 16 + {a^2} + {b^2}.$

Suy ra $A{M^2} + B{N^2} \ge 20 + \frac{1}{2}{\left( {a + b} \right)^2} = 20 + 8 = 28.$

Đáp án: 28.