Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(5,0,2) và B(5,10,4). Các điểm M, N di động trên mặt phẳng (Oxy) sao cho độ dài MN = 2. Tổng AM + BN có giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu?

Phương trình mặt phẳng \((Oxy)\):\[z = 0.\]

Vì \({z_A} \cdot {z_B} > 0\) nên A, B cùng phía so với \((Oxy)\).

Gọi \(A',\,\,B'\) lần lượt là hình chiếu của A, B lên \((Oxy)\).

                                                         \[A'(5,0,0),\,\,B'(5,10,0).\]

                                                                   \[A'B' = 10.\]

Ta có:

                                                           \[AA' = 2,\,\,BB' = 4.\]

Đặt:

                                                           \[MA' = x,\,\,NB' = y.\]

Theo bất đẳng thức tam giác:

                                                 \[A'M + MN + NB' \ge A'B' = 10.\]

Dấu bằng xảy ra khi \(A',\,\,M,\,\,N,\,\,B'\) thẳng hàng.

                                            \[ \Rightarrow x + y \ge A'B' - MN = 8.\]

Suy ra:

        \[AM + BN \ge \sqrt {{{(MA' + NB')}^2} + {{(AA' + BB')}^2}} = \sqrt {{8^2} + {6^2}} = 10.\]

Vậy giá trị nhỏ nhất là \(10.\)