Trong không gian Oxyz, cho các điểm $A(3; - 1;2),B(1;1;2),C(1; - 1;4)$, đường tròn C là giao tuyến của

105/235

Trong không gian \[Oxyz,\] cho các điểm $A(3; - 1;2),\,\,B(1;1;2),\,\,C(1; - 1;4)$, đường tròn $(C)$ là giao tuyến của mặt phẳng $(P):x + y + z - 4 = 0$ và mặt cầu $(S):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x - 6z + 10 = 0$. Hỏi có bao nhiêu điểm $M$ thuộc đường tròn $(C)$ sao cho $T = MA + MB + MC$ đạt giá trị lớn nhất?

$3.$

$2.$

$4.$

$1.$

Giải thích

Giải chi tiết:

Mặt cầu $(S):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x - 6z + 10 = 0$ có tâm $I(2;0;3)$ và bán kính $R = \sqrt 3 $.

Ta lại có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AI = BI = CI = \sqrt 3 }\\{AB = BC = CA = 2\sqrt 2 }\\{A,B,C \in (P)}\end{array}} \right..$

$Trong không gian \[Oxyz,\] cho các điểm $A(3; - 1;2),\,\,B(1;1;2),\,\,C(1; - 1;4)$, đường tròn $(C)$ là giao tuyến của (ảnh 1)$

Do vậy $\Delta ABC$ đều và nội tiếp đường tròn giao tuyến $(C)$. Gọi $H$ là tâm của đường tròn $(C)$.

Giả sử:$M$ thuộc cung nhỏ $AC.$ Ta dễ dàng chứng minh được $MB = MA + MC$ (Hình 1) (bằng cách dựng tam giác đều $AMD$)

Khi đó \[T{\rm{ }} = {\rm{ }}MA{\rm{ }} + {\rm{ }}MB{\rm{ }} + {\rm{ }}MC{\rm{ }} = {\rm{ }}2MB\] đạt GTLN khi $M$ đối xứng $B$ qua $H$ (Hình 2).

Tương tự khi $M$ đối xứng $C$ qua $H$, hoặc khi $M$ đối xứng $A$ qua $H$ thì $T = MA + MB + MC$ đạt GTLN.

Vậy có $3$ điểm $M$ thoả mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: A

Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2026 có đáp án (Đề số 16)

Trong không gian Oxyz, cho các điểm \(A(3; - 1;2),B(1;1;2),C(1; - 1;4)\), đường tròn C là giao tuyến của