Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(1;2;0), B(3;2;2), C(0;5;1). Điểm D nằm trên mặt cầu có phương trình (x - 2)^2 + y^2 + (z - 2)^2 = 4 sao cho thể tích tứ diện ABC bằng 4

Giải chi tiết:

Ta có:

                \[\overrightarrow {AB} = (2;0;2),\quad \overrightarrow {AC} = ( - 1;3;1).\]

Suy ra:

       \[\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = 2 \cdot ( - 1) + 0 \cdot 3 + 2 \cdot 1 = 0,\]

nên \(AB \bot AC\).

Diện tích tam giác ABC là:

    \[{S_{ABC}} = \frac{{AB \cdot AC}}{2} = \frac{{2\sqrt 2 \cdot \sqrt {11} }}{2} = \sqrt {22} .\]

Phương trình mặt phẳng \((ABC)\) là:

                                                            \[3x + 2y - 3z - 7 = 0.\]

Do thể tích tứ diện ABCD bằng \(4\), ta có:

               \[{V_{ABCD}} = \frac{1}{3}{S_{ABC}} \cdot d(D,(ABC)) = 4 \Rightarrow d(D,(ABC)) = \frac{{12}}{{\sqrt {22} }}.\]

Gọi \(D(a;b;c)\), khi đó:

                     \[\frac{{|3a + 2b - 3c - 7|}}{{\sqrt {{3^2} + {2^2} + {{( - 3)}^2}} }} = \frac{{12}}{{\sqrt {22} }} \Rightarrow |3a + 2b - 3c - 7| = 12.\]

Suy ra \(D\) thuộc một trong hai mặt phẳng:

                    \[({P_1}):\;3a + 2b - 3c - 19 = 0,\qquad ({P_2}):\;3a + 2b - 3c + 5 = 0.\]

Xét mặt cầu tâm \(I(2;0;2)\), bán kính \({R_0} = 2\).

Khoảng cách từ \(I\) đến \(({P_1})\):

              \[d(I,({P_1})) = \frac{{|3 \cdot 2 + 2 \cdot 0 - 3 \cdot 2 - 19|}}{{\sqrt {22} }} = \frac{{19}}{{\sqrt {22} }} > 2,\]

nên không có giao tuyến.

Khoảng cách từ \(I\) đến \(({P_2})\):

               \[d(I,({P_2})) = \frac{{|3 \cdot 2 + 2 \cdot 0 - 3 \cdot 2 + 5|}}{{\sqrt {22} }} = \frac{5}{{\sqrt {22} }} < 2,\]

nên quỹ tích \(D\) là một đường tròn.

Bán kính đường tròn đó:

             \[R = \sqrt {R_0^2 - {d^2}(I,({P_2}))} = \sqrt {4 - \frac{{25}}{{22}}} = \sqrt {\frac{{63}}{{22}}} = \frac{{3\sqrt {154} }}{{22}}.\]

Suy ra:

                                      \[a = 3,\quad b = 22 \Rightarrow T = a + b = 25.\]

Đáp án: A.