Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(1;1;3), B( - 1;0;1), C(1;4;5).

a) ĐÚNG. Để tứ giác \(ABCE\) là hình bình hành, ta cần:

\(\overrightarrow {AE} = \overrightarrow {BC} \Leftrightarrow \left( {{x_E} - 1;{y_E} - 1;{z_E} - 3} \right) = \left( {1 - \left( { - 1} \right);4 - 0;5 - 1} \right) = \left( {2;4;4} \right)\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_E} - 1 = 2 \Rightarrow {x_E} = 3}\\{{y_E} - 1 = 4 \Rightarrow {y_E} = 5}\\{{z_E} - 3 = 4 \Rightarrow {z_E} = 7}\end{array}} \right. \Rightarrow E\left( {3;5;7} \right)\).

b) ĐÚNG. Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 2; - 1; - 2} \right)\). Độ dài đoạn thẳng \(AB\) là:

\(AB = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} = \sqrt {4 + 1 + 4} = 3\).

c) ĐÚNG. Tính độ dài đoạn thẳng \(BC\): \(\overrightarrow {BC} = \left( {2;4;4} \right) \Rightarrow BC = \sqrt {{2^2} + {4^2} + {4^2}} = \sqrt {36} = 6\).

Vì \(BD\) là đường phân giác trong tại đỉnh \(B\) của tam giác \(ABC\), theo tính chất đường phân giác ta có:

\(\frac{{DA}}{{DC}} = \frac{{BA}}{{BC}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \Rightarrow \overrightarrow {DA} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {DC} \Leftrightarrow \overrightarrow {CD} = - 2\overrightarrow {AD} \)\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_D} - 1 = - 2\left( {{x_D} - 1} \right) \Rightarrow 3{x_D} = 3 \Rightarrow {x_D} = 1}\\{{y_D} - 4 = - 2\left( {{y_D} - 1} \right) \Rightarrow 3{y_D} = 6 \Rightarrow {y_D} = 2}\\{{z_D} - 5 = - 2\left( {{z_D} - 3} \right) \Rightarrow 3{z_D} = 11 \Rightarrow {z_D} = \frac{{11}}{3}}\end{array}} \right.\).

Vậy hoành độ điểm \(D\) là \({x_D} = 1\).

d) SAI. Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 2; - 1; - 2} \right)\) và \(\overrightarrow {AC} = \left( {0;3;2} \right)\).

Tích có hướng của hai vectơ này là: \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&{ - 2}\\3&2\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&{ - 2}\\2&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&{ - 1}\\0&3\end{array}} \right|} \right) = \left( {4; - 4; - 6} \right)\).

Diện tích tam giác \(ABC\) là:

\({S_{{\rm{\Delta }}ABC}} = \frac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right| = \frac{1}{2}\sqrt {{4^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} + {{\left( { - 6} \right)}^2}} = \frac{1}{2}\sqrt {16 + 16 + 36} = \frac{1}{2}\sqrt {68} = \sqrt {17} \ne 2\sqrt {17} \).

Ngoài ra, ta cũng có thể tính \(CA = \sqrt {{0^2} + {3^2} + {2^2}} = \sqrt {13} \), sau đó sử dụng công thức Heron để tính diện tích tam giác.