Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(−3; 0; 1), B(0; −2; −3), C(0; 0; 3), D(−3; 1; 1). Gọi (S) là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. (a) Hình chiếu vuông góc của tâm mặt cầu (S) lên trục Oy là

Gọi (S): \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\).

Vì (S) đi qua A(−3; 0; 1), B(0; −2; −3), C(0; 0; 3), D(−3; 1; 1) nên ta có hệ phương trình

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6a - 2c + d = - 10\\4b + 6c + d = - 13\\ - 6c + d = - 9\\6a - 2b - 2c + d = - 11\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{6}\\b = \frac{1}{2}\\c = - \frac{1}{2}\\d = - 12\end{array} \right.\).

Suy ra tâm mặt cầu (S) là \(I\left( {\frac{1}{6};\frac{1}{2}; - \frac{1}{2}} \right)\).

a) Hình chiếu vuông góc của I lên trục Oy là điểm \(H\left( {0;\frac{1}{2};0} \right)\).

b) Ta có \(OI = \sqrt {{{\left( {\frac{1}{6}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( { - \frac{1}{2}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {19} }}{6}\).

c) Bán kính \(R = OI = \sqrt {{{\left( {\frac{1}{6}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( { - \frac{1}{2}} \right)}^2} - \left( { - 12} \right)} = \frac{{\sqrt {451} }}{6}\).

d) Thay tọa độ điểm I vào đường thẳng d ta được \(\frac{{\frac{1}{6} - 1}}{2} = \frac{{\frac{1}{2}}}{1} = \frac{{ - \frac{1}{2} - 2}}{3}\) (vô lí) nên d không đi qua I.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.