Trong không gian Oxyz, cho các điểm A (2;7;5), B (3;6;4), C (1;8;2), D (4;3;2). Toạ độ điểm M sao cho biểu thức T = MA^2 + MB^2 - MC^2 + 2MD^2 đạt giá trị nhỏ nhất

108/235

Trong không gian \[Oxyz,\] cho các điểm \(A\left( {2;7;5} \right), B\left( {3;6;4} \right), C\left( {1;8;2} \right), D\left( {4;3;2} \right).\) Toạ độ điểm M sao cho biểu thức \(T = M{A^2} + M{B^2} - M{C^2} + 2M{D^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất là \(\left( {a,b,c} \right)\). Giá trị biểu thức \(P = \frac{{ab}}{c}\) bằng bao nhiêu? (nhập đáp án vào ô trống)

Đáp án: __

Click vào chỗ trống để nhập đáp án. Nhấn Enter để xác nhận, Esc để hủy.

Giải thích

Giải chi tiết:

Gọi \(I\left( {{x_I},{y_I},{z_I}} \right)\) là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} - \overrightarrow {IC} + 2\overrightarrow {ID} = \vec 0.\)

Ta tính được tọa độ điểm I:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_I} = \frac{{{x_A} + {x_B} - {x_C} + 2{x_D}}}{{1 + 1 - 1 + 2}} = \frac{{2 + 3 - 1 + 8}}{3} = 4}\\{{y_I} = \frac{{{y_A} + {y_B} - {y_C} + 2{y_D}}}{{1 + 1 - 1 + 2}} = \frac{{7 + 6 - 8 + 6}}{3} = \frac{{11}}{3}}\\{{z_I} = \frac{{{z_A} + {z_B} - {z_C} + 2{z_D}}}{{1 + 1 - 1 + 2}} = \frac{{5 + 4 - 2 + 4}}{3} = \frac{{11}}{3}}\end{array}} \right.\)

Ta có:

\(T = M{A^2} + M{B^2} - M{C^2} + 2M{D^2}\)

\(T = {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right)^2} - {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IC} } \right)^2} + 2{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {ID} } \right)^2}\)

\(T = 3M{I^2} + 2\overrightarrow {MI} \left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} - \overrightarrow {IC} + 2\overrightarrow {ID} } \right) + I{A^2} + I{B^2} - I{C^2} + 2I{D^2}\)

\(T = 3M{I^2} + I{A^2} + I{B^2} - I{C^2} + 2I{D^2} \ge I{A^2} + I{B^2} - I{C^2} + 2I{D^2}\)

Khi đó, \(T\) đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi \(M{I^2} = 0 \Leftrightarrow M \equiv I.\)

Vậy tọa độ điểm \(M\) cần tìm là \(M\left( {4;\frac{{11}}{3};\frac{{11}}{3}} \right).\)

Đáp án: \[4.\]