Trong không gian Oxyz, cho các điểm A ( 2 ; 7 ; 5 ) , B ( 3 ; 6 ; 4 ) , C ( 1 ; 8 ; 2 ) , D ( 4 ; 3 ; 2 ) . Toạ độ điểm M sao cho biểu thức T = MA^2 + MB^2 − MC^2 + 2 MD^2 đạt giá trị nh

Gọi \(I\left( {x;y;z} \right)\) là điểm thoả mãn \(\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  - \overrightarrow {IC}  + 2\overrightarrow {ID}  = \vec 0\).

Có \(\overrightarrow {IA}  = \left( {2 - x;7 - y;5 - z} \right)\); \[\overrightarrow {IB}  = \left( {3 - x;6 - y;4 - z} \right)\];

\(\overrightarrow {IC}  = \left( {1 - x;8 - y;2 - z} \right)\); \(\overrightarrow {ID}  = \left( {4 - x;3 - y;2 - z} \right)\).

Khi đó ta có \(\left\{ \begin{array}{l}2 - x + 3 - x - 1 + x + 8 - 2x = 0\\7 - y + 6 - y - 8 + y + 6 - 2y = 0\\5 - z + 4 - z - 2 + z + 4 - 2z = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}12 - 3x = 0\\11 - 3y = 0\\11 - 3z = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = \frac{{11}}{3}\\z = \frac{{11}}{3}\end{array} \right.\).

Ta có:\(T = M{A^2} + M{B^2} - M{C^2} + 2M{D^2}\)

\(T = {\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IB} } \right)^2} - {\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IC} } \right)^2} + 2{\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {ID} } \right)^2}\)

\(T = 3M{I^2} + 2\overrightarrow {MI} \left( {\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  - \overrightarrow {IC}  + 2\overrightarrow {ID} } \right) + I{A^2} + I{B^2} - I{C^2} + 2I{D^2}\)

\(T = 3M{I^2} + I{A^2} + I{B^2} - I{C^2} + 2I{D^2} \ge I{A^2} + I{B^2} - I{C^2} + 2I{D^2}\).

Khi đó, \(T\) đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi \(M{I^2} = 0 \Leftrightarrow M \equiv I\).

Vậy toạ độ điểm \(M\) cần tìm là \(M\left( {4;\frac{{11}}{3};\frac{{11}}{3}} \right)\). Suy ra \(a = 4;b = \frac{{11}}{3};c = \frac{{11}}{3}\).

Vậy \(P = \frac{{ab}}{c} = 4\).

 Đáp án cần nhập là: \(4\).