Trong không gian \[Oxyz\] cho các điểm A ( 2;0;0 )B (0;4;0)

18/22

Trong không gian \[Oxyz\] cho các điểm \[A\left( {2;0;0} \right),B\left( {0;4;0} \right),C\left( {0;0;6} \right),D\left( {2;4;6} \right)\]. Gọi \[\left( P \right)\]là mặt phẳng song song với mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\],\[\left( P \right)\] cách đều \[D\] và mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\]. Phương trình của mặt phẳng \[\left( P \right)\] là \[ax + by + 2z + d = 0\] với \(a,b,d \in \mathbb{Z}\). Giá trị của \(d\) bằng bao nhiêu?

Giải thích

Phương trình mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] là: \[\frac{x}{2} + \frac{y}{4} + \frac{z}{6} = 1 \Leftrightarrow 6x + 3y + 2z - 12 = 0\]

Mặt phẳng \[\left( P \right)\] song song với mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] nên \[\left( P \right)\]có dạng:\[6x + 3y + 2z + d = 0{\rm{ }}\left( {d \ne - 12} \right)\]

Vì \[\left( P \right)\] cách đều \[D\] và mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] nên ta có:\[d\left( {D;\left( P \right)} \right) = d\left( {\left( {ABC} \right);\left( P \right)} \right) \Leftrightarrow d\left( {D;\left( P \right)} \right) = d\left( {A;\left( P \right)} \right)\]\[ \Leftrightarrow \left| {36 + d} \right| = \left| {12 + d} \right| \Leftrightarrow d = - 24\].

Vậy phương trình mặt phẳng \[\left( P \right)\] là: \[6x + 3y + 2z - 24 = 0\]