Trong không gian Oxyz, cho các điểm A (1;1;0), B(5;- 3;2) và C(0;4;- 1). Xét các điểm M thay đổi trong không gian

18/25

Trong không gian \(Oxyz\), cho các điểm \(A\left( {1;\,1;\,0} \right)\), \(B\left( {5;\, - 3;\,2} \right)\) và \(C\left( {0;\,4;\, - 1} \right)\). Xét các điểm \(M\) thay đổi trong không gian sao cho diện tích tam giác \(ABM\) bằng \(12\sqrt 2 \).

1. Đoạn thẳng \(AB\) có độ dài bằng	A. \(3\).
2. Đoạn thẳng\(BC\) có độ dài bằng	B. \(\sqrt 2 \).
3. Khoảng cách từ điểm \(C\) tới đường thẳng \(AB\) bằng	C. \(6\).
4. Đoạn thẳng \(MC\) có độ dài nhỏ nhất bằng	D. \(3\sqrt 2 \).
	E. \(\sqrt {83} \).
	F. \(4\sqrt 2 \).

Đáp án: 1 – __ ; 2 – __ ; 3 – __ ; 4 – __

Click vào chỗ trống để nhập đáp án. Nhấn Enter để xác nhận, Esc để hủy.

Giải thích

Ta có \(AB = \sqrt {{{\left( {5 - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 3 - 1} \right)}^2} + {{\left( {2 - 0} \right)}^2}} = 6\); \(BC = \sqrt {{{\left( {0 - 5} \right)}^2} + {{\left( {4 - \left( { - 3} \right)} \right)}^2} + {{\left( { - 1 - 2} \right)}^2}} = \sqrt {83} \).

Có \(\overrightarrow {AB} = \left( {4;\, - 4;\,2} \right) = 2\left( {2;\, - 2;\,1} \right)\) nên đường thẳng \(AB\) đi qua điểm \(A\left( {1;\,1;\,0} \right)\) và nhận \(\overrightarrow u = \left( {2;\, - 2;\,1} \right)\) làm vectơ chỉ phương.

Ta có \(\overrightarrow {CA} = \left( {1; - 3;1} \right)\). Khi đó \(\left[ {\overrightarrow {CA} ,\,\overrightarrow u } \right] = \left( { - 1;\,1;\,4} \right)\).

Vậy \(d\left( {C,\,AB} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {CA} ,\,\overrightarrow u } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}}\)\( = \frac{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2} + {4^2}} }}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2}} }} = \sqrt 2 \).

Ta có \({S_{\Delta MAB}} = 12\sqrt 2 \)\( \Rightarrow \frac{1}{2} \cdot d\left( {M,AB} \right) \cdot AB = 12\sqrt 2 \)\( \Rightarrow d\left( {M,\,AB} \right) = 4\sqrt 2 \).

Gọi \(I\) là hình chiếu của \(C\) lên \(AB\). Ta có \(CI = d\left( {C,\,AB} \right) = \sqrt 2 \).

Để \(MC\) nhỏ nhất thì điểm \(M\)nằm giữa hai đểm \(C\) và \(I\).

Suy ra \(M{C_{\min }} = 4\sqrt 2 - \sqrt 2 = 3\sqrt 2 \).

Đáp án: 1 – C; 2 – E; 3 – B; 4 – D.