Trong không gian Oxyz , cho các điểm A ( 1 ; 1 ; 0 ) , B ( 5 ; − 3 ; 2 ) và C ( 0 ; 4 ; − 1 ) . Xét các điểm M thay đổi trong không gian sao cho diện tích tam giác ABM bằng 6 √ 2 .

18/25

Trong không gian \[Oxyz\], cho các điểm \[A\left( {1;1;0} \right)\], \[B\left( {5; - 3;2} \right)\]và \[C\left( {0;4; - 1} \right)\]. Xét các điểm \[M\] thay đổi trong không gian sao cho diện tích tam giác \[ABM\] bằng \[6\sqrt 2 \].

Đoạn thẳng \[AB\] có độ dài bằng \[3\].

ĐúngSai

Đường thẳng \[AB\] có phương trình là \[\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{z}{1}\].

ĐúngSai

Khoảng cách từ điểm \[C\] tới đường thẳng \[AB\] bằng \[2\sqrt 2 \].

ĐúngSai

Đoạn thẳng \[MC\] có độ dài nhỏ nhất bằng \[\sqrt 2 \].

ĐúngSai

Giải thích

a) Sai. Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {4; - 4;2} \right)\) nên đoạn thẳng \[AB\] có độ dài bằng \[\sqrt {{4^2} + {4^2} + {2^2}} = 6\].

b)Đúng.Vectơ \[\overrightarrow {AB} = \left( {4; - 4;2} \right) = 2\left( {2; - 2;1} \right)\] nên đường thẳng \[AB\] có phương trình \[\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{z}{1}\].

c) Sai.Vectơ \[\overrightarrow {AC} = \left( { - 1;3; - 1} \right)\] nên khoảng cách từ điểm \[C\] tới đường thẳng \[AB\] bằng

\(d\left( {C,AB} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AB} } \right]} \right|}}{{AB}} = \sqrt 2 \).

d) Đúng.Diện tích tam giác \[ABM\] bằng \[\frac{1}{2}AB \cdot d\left( {M,AB} \right) = 6\sqrt 2 \Leftrightarrow d\left( {M,AB} \right) = 2\sqrt 2 \]. Suy ra \(M\)thuộc mặt trụ có trục là đường thẳng \(AB\), bán kính \(R = 2\sqrt 2 \).

a) Đúng. Đạo hàm của hàm số đã cho là (ảnh 1)

Đoạn thẳng \[MC\] có độ dài nhỏ nhất bằng \[M{C_{\min }} = \left| {d\left( {M,AB} \right) - d\left( {C,AB} \right)} \right| = \sqrt 2 \].