Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm S(−1; 6; 2), A(0; 0; 6), B(0; 3; 0), C(−2; 0; 0). Gọi H là chân đường cao vẽ từ S của tứ diện SABC. Mặt phẳng đi qua ba điểm S, B, H có dạng ax + by + cz –

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 1

Phương trình mặt phẳng (ABC) \(\frac{x}{{ - 2}} + \frac{y}{3} + \frac{z}{6} = 1 \Leftrightarrow  - 3x + 2y + z - 6 = 0\).

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là \(\overrightarrow n  = \left( { - 3;2;1} \right)\).

Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{SH \bot \left( {ABC} \right)}\\{SH \subset \left( {SHB} \right)}\end{array}} \right. \Rightarrow \left( {SHB} \right) \bot \left( {ABC} \right)\).

Gọi \(\overrightarrow {{n_1}} \) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (SHB) ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {{n_1}}  \bot \overrightarrow n }\\{\overrightarrow {{n_1}}  \bot \overrightarrow {SB} }\end{array}} \right. \Rightarrow \overrightarrow {{n_1}}  = \left[ {\overrightarrow n ,\overrightarrow {SB} } \right]\).

\(\overrightarrow {SB}  = \left( {1; - 3; - 2} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow n ,\overrightarrow {SB} } \right] = \left( { - 1; - 5;7} \right)\).

Do mặt phẳng (SHB) đi qua điểm B và nhận \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( { - 1; - 5;7} \right)\) là một vectơ pháp tuyến nên ta có phương trình:

−1(x – 0) − 5(y – 3) + 7(z – 0) = 0 hay x + 5y – 7z – 15 = 0.

Vậy a = 1.