Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm M(2; -1; 3), N(4; -1; 3), P(2; 3; 3) và Q(2; -1; 9). Gọi (S) là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện MNPQ. Hình chiếu vuông góc của tâm I lên mặt phẳng (Oxy) có tọa

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 4

Gọi I(a; b; c) là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện MNPQ.

Vì I cách đều bốn đỉnh nên: IM = IN = IP = IQ.

Ta có hệ phương trình:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}I{M^2} = I{N^2}\\I{M^2} = I{P^2}\\I{M^2} = I{Q^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b + 1} \right)^2} + {\left( {c - 3} \right)^2} = {\left( {a - 4} \right)^2} + {\left( {b + 1} \right)^2} + {\left( {c - 3} \right)^2}\\{\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b + 1} \right)^2} + {\left( {c - 3} \right)^2} = {\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b - 3} \right)^2} + {\left( {c - 3} \right)^2}\\{\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b + 1} \right)^2} + {\left( {c - 3} \right)^2} = {\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b + 1} \right)^2} + {\left( {c - 9} \right)^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} - 4a + 4 = {a^2} - 8a + 16\\{b^2} + 2b + 1 = {b^2} - 6b + 9\\{c^2} - 6c + 9 = {c^2} - 18c + 81\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 1\\c = 6\end{array} \right.\end{array}\)

Do đó, I(3; 1; 6).

Hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng (Oxy) là H(3; 1; 0).

=> x = 3, y = 1, z = 0 => x + y + z = 3 + 1 + 0 = 4.