Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm M(1; 1; 1), N(1; 2; 1), P(1; 1; 2) và Q(2; 2; 1). Gọi (S) là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện MNPQ.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai.               b) Đúng.               c) Đúng.                d) Đúng.

a) Sai.

Phương trình tổng quát của mặt cầu có dạng: x² + y² + z² - 2ax – 2by – 2cz + d = 0.

Vì mặt cầu đi qua M, N, P, Q, thay vào phương trình ta được:

\(\left\{ \begin{array}{l}{1^2} + {1^2} + {1^2} - 2a - 2b - 2c + d = 0\\{1^2} + {2^2} + {1^2} - 2a - 4b - 2c + d = 0\\{1^2} + {1^2} + {2^2} - 2a - 2b - 4c + d = 0\\{2^2} + {2^2} + {1^2} - 4a - 4b - 2c + d = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2a - 2b - 2c + d = - 3\\ - 2a - 4b - 2c + d = - 6\\ - 2a - 2b - 4c + d = - 6\\ - 4a - 4b - 2c + d = - 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{3}{2}\\b = \frac{3}{2}\\c = \frac{3}{2}\\d = 6\end{array} \right.\).

Vậy hệ số tự do d = 6.

b) Đúng. Tọa độ tâm của mặt cầu là \(I\left( {\frac{3}{2};\,\,\frac{3}{2};\,\,\frac{3}{2}} \right)\).

c) Đúng. Ta có: R =\(\sqrt {{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^2} - 6} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Thể tích khối cầu là: \(V = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{4}{3}\pi \cdot {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^3} = \frac{{\sqrt 3 \pi }}{2}\).

d) Đúng. Phương trình mặt cầu (S) là: \({\left( {x - \frac{3}{2}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{3}{2}} \right)^2} + {\left( {z - \frac{3}{2}} \right)^2} = \frac{3}{4}\).