Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A(6; 0; 0), B(0; 6; 0), C(0; 0; 6) và D(6; 6; 6).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.           b) Đúng.               c) Sai.                    d) Sai.

a) Đúng. Trọng tâm tứ diện ABCD là: G(3; 3; 3).

Khoảng cách từ G đến A là: GA² = (6 – 3)² + (0 – 3)² + (0 – 3)² = 27.

Khoảng cách từ G đến B là: GB² = (0 – 3)² + (6 – 3)² + (0 – 3)² = 27.

Khoảng cách từ G đến C là: GC² = (0 – 3)² + (0 – 3)² + (6 – 3)² = 27.

Khoảng cách từ G đến D là: GD² = (6 – 3)² + (6 – 3)² + (6 – 3)² = 27.

Ta có: GA = GB = GC = GD.

Vậy G chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp.

b) Đúng. Với tâm G(3; 3; 3), R² = GA² = 27, ta có phương trình mặt cầu là:

(x – 3)² + (y – 3)² + (z – 3)² = 27.

c) Sai.

Tâm I là trung điểm của AB => I(3; 3; 0).

Ta có: R² = IA² = (6 – 3)² + (0 – 3)² + (0 – 0)² = 18.

d = a² + b² + c² – R² = 3² + 3² + 0² – 18 = 0.

Vậy hệ số tự do d = 0.

d) Sai. Ta có: \(\overrightarrow {MA} = \left( {6 - x;\,\, - y;\,\, - z} \right)\),    \(\overrightarrow {MC} = \left( { - x;\,\, - y;\,\,6 - z} \right)\)

\(\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MC} = \left( {6 - x} \right)\left( { - x} \right) + \left( { - y} \right)\left( { - y} \right) + \left( { - z} \right)\left( {6 - z} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow - 6x + {x^2} + {y^2} - 6z + {z^2} = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 6x} \right) + {y^2} + \left( {{z^2} - 6z} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow {\left( {x - 3} \right)^2} - 9 + {y^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} - 9 = 0\)

\( \Leftrightarrow {\left( {x - 3} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 18\).

Vậy R =\(\sqrt {18} = 3\sqrt 2 \).