Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A(2;-3;7)

38/235

Trong không gian \[Oxyz,\] cho bốn điểm \(A\left( {2\,;\,\, - 3\,;\,\,7} \right),\,\,B\left( {0\,;\,\,4\,;\,\,1} \right)\), \(C\left( {3\,;\,\,0\,;\,\,5} \right)\) và \(D\left( {3\,;\,\,3\,;\,\,3} \right).\) Gọi \(M\) là điểm nằm trên mặt phẳng \[\left( {Oyz} \right)\] sao cho biểu thức \(\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó tọa độ của \(M\) là:

\(M\left( {0\,;\,\,1\,;\,\, - 2} \right).\)

\[M\left( {0\,;\,\,1\,;\,\,4} \right).\]

\(M\left( {0\,;\,\,1\,;\,\, - 4} \right).\)

\(M\left( {2\,;\,\,1\,;\,\,0} \right).\)

Giải thích

Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 2\,;\,\,7\,;\,\, - 6} \right),\,\,\overrightarrow {AC} = \left( {1\,;\,\,3\,;\,\, - 2} \right),\,\,\overrightarrow {AD} = \left( {1\,;\,\,6\,;\,\, - 4} \right)\)

Nên \[\left[ {\overrightarrow {AB} \,,\,\,\overrightarrow {AC} } \right] \cdot \overrightarrow {AD} = - 4 \ne 0.\] Suy ra \(\overrightarrow {AB} \,,\,\,\,\overrightarrow {AC} \,,\,\,\overrightarrow {AD} \) không đồng phẳng.

Gọi \(G\) là trọng tâm tứ diện \[ABCD.\] Khi đó \(G\left( {2\,;\,\,1\,;\,\,4} \right).\)

Ta có \(\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} } \right| = \left| {4\overrightarrow {MG} } \right| = 4MG.\)

Do đó \(\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} } \right|\) nhỏ nhất khi và chỉ khi \[MG\] ngắn nhất.

Vậy \(M\) là hình chiếu vuông góc của \(G\) lên mặt phẳng \[\left( {Oyz} \right)\] nên \(M\left( {0\,;\,\,1\,;\,\,4} \right).\) Chọn B.