Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A(2; 1; -1), B(0; 3; 1), C(1; -1; 2) và D(1; 1; 1).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.
a) Sai. Ta có: \(\overrightarrow {MD} = \left( {1 - x;\,\,1 - y;\,\,1 - z} \right)\).
b) Đúng. I là trung điểm của AB => I(1; 2; 0).
Ta có: R2 = IA2 = (2 – 1)2 + (1 – 2)2 + (-1 – 0)2 = 3.
Vậy phương trình mặt cầu đường kính AB có tọa độ tâm I(1; 2; 0) và bán kính bình phương bằng 3.
c) Sai.
Gọi I(x; y; z) là tâm mặt cầu (S) cần tìm.
Theo giả thiết:
\(\left\{ \begin{array}{l}IA = ID\\IB = ID\\IC = ID\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}I{A^2} = I{D^2}\\I{B^2} = I{D^2}\\I{C^2} = I{D^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {c + 1} \right)^2} = {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {c - 1} \right)^2}\\{a^2} + {\left( {b - 3} \right)^2} = {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2}\\{b^2} + 2b + 1 + {c^2} - 4c + 4 = {b^2} - 2b + 1 + {c^2} - 2c + 1\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a - 4c = 3\\2a - 4b = - 7\\4b - 2c = - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{{23}}{2}\\b = - 4\\c = - \frac{{13}}{2}\end{array} \right.\).
Vậy phương trình cần tìm là: x2 + y2 + z2 + 23x + 8y + 13z – 47 = 0.
d) Sai. Bán kính của mặt cầu là
\(R = IA = \sqrt {{{\left( { - \frac{{23}}{2} - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 4 - 1} \right)}^2} + {{\left( { - \frac{{13}}{2} + 1} \right)}^2}} = \frac{{5\sqrt {38} }}{2}\).