Trong không gian Oxyz , cho bốn điểm A(2;0;1) , B(3;1;5)

47/50

Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A2 ; 0 ; 1, B3 ; 1 ; 5, C1 ; 2 ; 0, D4 ; 2 ; 1. Gọi α là mặt phẳng đi qua D sao cho ba điểm A, B, C nằm cùng phía đối với α và tổng khoảng cách từ các điểm A, B, C đến mặt phẳng α là lớn nhất. Giả sử phương trình α có dạng: 2x+my+nz−p=0. Khi đó, T=m+n+p bằng:

Giải thích

Vì mặt phẳng α đi qua D4 ; 2 ; 1 nên phương trình α có dạng:
a.x−4+b.y−2+c.z−1=0 (với a2+b2+c2>0)
Đặt S=dA,α+dB,α+dC,α=−2a−2b+−a−b+4c+−3a−ca2+b2+c2.
Theo giả thiết A, B, C, nằm cùng phía đối với α nên không mất tính tổng quát, ta giả sử:
−2a−2b>0−a−b+4c>0−3a−c>0.
Khi đó, S=−2a−2b−a−b+4c−3a−ca2+b2+c2=−6a−3b+3ca2+b2+c2.
Áp dụng bất đẳng thức B.C.S cho hai bộ số −6 ; −3 ; 3 và a ; b ; c, ta được:
−6a−3b+3c≤−6a−3b+3c≤62+32+32.a2+b2+c2.
⇒S≤36.
Đẳng thức xảy ra ⇔−6a−3b+3c≥0a−6=b−3=c3. Ta chọn a=−2b=−1c=1.
⇒α:−2x−y+z+9=0 hay α:2x+y−z−9=0.
⇒m=1, n=−1, p=9
Vậy T=m+n+p=9.Chọn đáp án A