Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A(1;2;1), B(- 2;1;3), C(2; - 1;1) và D(0;3;1)

1. Đúng. Ta có \[\overrightarrow {AB} = \left( { - 3; - 1;2} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {1; - 3;0} \right)\] suy ra \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {6;2;10} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) đi qua \(A\left( {1;2;1} \right)\) nhận \({\overrightarrow n _1} = \left( {3;1;5} \right)\) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là \(3\left( {x - 1} \right) + 1\left( {y - 2} \right) + 5\left( {z - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + y + 5z - 10 = 0\).

2. Đúng. Ta có \(3 \cdot 0 + 3 + 5 \cdot 1 - 10 = - 2 \ne 0\) nên \(D \notin \left( {ABC} \right)\).

Do đó bốn điểm \(A,B,C,D\) tạo thành tứ diện.

3. Sai. Ta có mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa \(AB\) và song song với \(CD\) có một vectơ pháp tuyến là \(\vec n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right] = \left( { - 8; - 4; - 14} \right)\).

Vì \(\vec n\) không cùng phương với \(\vec a\) nên \(\vec a = \left( {4; - 2;7} \right)\) không là vectơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\).

4. Đúng. Trường hợp 1: \(\left( P \right)\) qua hai điểm \(A\), \(B\) và song song với \(CD\), khi đó:

\(\left( P \right)\) có vectơ pháp tuyến là \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right] = \left( { - 8; - 4; - 14} \right)\) và \(A \in \,\left( P \right)\)\( \Rightarrow \left( P \right):4x + 2y + 7z - 15 = 0.\)

Vì \(4 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 7 \cdot 1 - 15 = 0\) nên \(M \in \left( P \right)\).

Trường hợp 2: \(\left( Q \right)\) qua hai điểm \(A\), \(B\) cắt \(CD\) tại trung điểm \(I\) của đoạn \(CD\).

Ta có \(I\left( {1;1;1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AI} \left( {0; - 1;0} \right)\), vectơ pháp tuyến của \(\left( Q \right)\) là \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AI} } \right] = \left( {2;0;3} \right)\) nên phương trình \(\left( Q \right):2x + 3z - 5 = 0\).

Vì \(2 \cdot 1 + 3 \cdot 1 - 5 = 0\) nên \(M \in \left( Q \right)\).