Trong không gian Oxyz, cho biết có hai mặt cầu có tâm nằm trên đường thẳng d: x/2 = (y − 1)/1 = (z + 2)/(−1), tiếp xúc đồng thời với hai mặt phẳng (α): x + 2y − 2z + 1 = 0 và (β): 2x − 3y − 6

7/40

Trong không gian \(Oxyz\), cho biết có hai mặt cầu có tâm nằm trên đường thẳng \(d:\frac{x}{2} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z + 2}}{{ - 1}}\), tiếp xúc đồng thời với hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right):\,x + 2y - 2z + 1 = 0\) và \(\left( \beta \right)\,:\,2x - 3y - 6z - 2 = 0\). Gọi \[{R_1}\,,\,{R_2}\,\left( {{R_1}\, > \,{R_2}} \right)\] là bán kính của hai mặt cầu đó. Tỉ số \(\frac{{{R_1}\,}}{{{R_2}}}\)bằng

\(3\).

\(2\).

\(\sqrt 2 \).

\(\sqrt 3 \).

Giải thích

Vì \(I \in d\) nên \(I\left( {2t;1 + t; - 2 - t} \right)\).

Lại có \(d\left( {I,\left( \alpha \right)} \right) = d\left( {I,\left( \beta \right)} \right)\)\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {2t + 2\left( {1 + t} \right) - 2\left( { - 2 - t} \right) + 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{{\left| {4t - 3\left( {1 + t} \right) - 6\left( { - 2 - t} \right) - 2} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {{\left( { - 6} \right)}^2}} }}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {6t + 7} \right|}}{3} = \frac{{\left| {7t + 7} \right|}}{7}\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{{6t + 7}}{3} = t + 1\\\frac{{6t + 7}}{3} = - t - 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - \frac{4}{3}\\t = - \frac{{10}}{9}\end{array} \right.\).

Với \(t = - \frac{4}{3} \Rightarrow {I_1}\left( { - \frac{8}{3}; - \frac{1}{3}; - \frac{2}{3}} \right)\);

Với \(t = - \frac{{10}}{9} \Rightarrow {I_2}\left( { - \frac{{20}}{9}; - \frac{1}{9}; - \frac{8}{9}} \right)\).

Ta có \(d\left( {{I_1},\left( \alpha \right)} \right) = \frac{{\left| { - \frac{8}{3} + 2\left( { - \frac{1}{3}} \right) - 2\left( { - \frac{2}{3}} \right) + 1} \right|}}{{\sqrt {1 + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{1}{3}\);

\(d\left( {{I_2},\left( \beta \right)} \right) = \frac{{\left| {2\left( { - \frac{{20}}{9}} \right) - 3\left( { - \frac{1}{9}} \right) - 6\left( { - \frac{8}{9}} \right) - 2} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {{\left( { - 6} \right)}^2}} }} = \frac{1}{9}\).

Vì \({R_1} > {R_2}\) nên \({R_1} = \frac{1}{3};{R_2} = \frac{1}{9}\). Khi đó \(\frac{{{R_1}}}{{{R_2}}} = 3\). Chọn A.