Trong không gian Oxyz, cho ba mặt phẳng (P): x + y + z – 1 = 0, (Q): 2x + my + 2z + 3 = 0 và (R): − x + 2y + nz = 0. Tính tổng m + 2n, biết rằng (P) vuông (R) và (P) // (Q).
Giải thích
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 0
Mặt phẳng (P): x + y + z – 1 = 0 có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;1;1} \right)\).
Mặt phẳng (Q): 2x + my + 2z + 3 = 0 có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {2;m;2} \right)\).
Mặt phẳng (R): − x + 2y + nz = 0 có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_R}} = \left( { - 1;2;n} \right)\).
(P) \( \bot \) (R) ⇔ \(\overrightarrow {{n_P}} \cdot \overrightarrow {{n_R}} = 0 \Leftrightarrow - 1 \cdot 1 + 2 \cdot 1 + n \cdot 1 = 0 \Leftrightarrow n = - 1\).
(P) // (Q) ⇔ \(\frac{2}{1} = \frac{m}{1} = \frac{2}{1} \ne \frac{3}{{ - 1}} \Leftrightarrow m = 2\).
Vậy m + 2n = 2 + 2∙(−1) = 0.