Trong không gian Oxyz, cho ba điểm không thẳng hàng A(0;0;-1), B(-1;1;0), C(1;0;1). Điểm N là điểm thỏa mãn 3NA^2 + 2NB^2 − NC^2 đạt giá trị nhỏ nhất có tọa độ là

32/40

Trong không gian \(Oxyz\), cho ba điểm không thẳng hàng \(A\left( {0;0; - 1} \right),B\left( { - 1;1;0} \right),C\left( {1;0;1} \right)\). Điểm \(N\) là điểm thỏa mãn \(3N{A^2} + 2N{B^2} - N{C^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất có tọa độ là

\(\left( {\frac{3}{4};\frac{1}{2}; - 1} \right)\).

\(\left( { - \frac{3}{4};\frac{1}{2};1} \right)\).

\(\left( { - \frac{3}{4};\frac{1}{2}; - 1} \right)\).

\(\left( {\frac{3}{4}; - \frac{1}{2}; - 1} \right)\).

Giải thích

Gọi \(I\) là điểm sao cho \[3\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} - \overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \].

Khi đó \[\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{3{x_A} + 2{x_B} - {x_C}}}{4} = \frac{{3 \cdot 0 + 2 \cdot \left( { - 1} \right) - 1}}{4} = \frac{{ - 3}}{4}\\{y_I} = \frac{{3{y_A} + 2{y_B} - {y_C}}}{4} = \frac{{3 \cdot 0 + 2 \cdot 1 - 0}}{4} = \frac{1}{2}\\{z_I} = \frac{{3{z_A} + 2{z_B} - {z_C}}}{4} = \frac{{3 \cdot \left( { - 1} \right) + 2 \cdot 0 - 1}}{4} = - 1\end{array} \right.\]

Suy ra \(I\left( { - \frac{3}{4};\frac{1}{2}; - 1} \right)\).

Ta có \[3N{A^2} + 2N{B^2} - N{C^2} = 3{\overrightarrow {NA} ^2} + 2{\overrightarrow {NB} ^2} - {\overrightarrow {NC} ^2}\]

\[ = 3{\left( {\overrightarrow {NI} + \overrightarrow {IA} } \right)^2} + 2{\left( {\overrightarrow {NI} + \overrightarrow {IB} } \right)^2} - {\left( {\overrightarrow {NI} + \overrightarrow {IC} } \right)^2}\]\[ = 4{\overrightarrow {NI} ^2} + 2\overrightarrow {NI} \left( {3\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} - \overrightarrow {IC} } \right) + 3{\overrightarrow {IA} ^2} + 2{\overrightarrow {IB} ^2} - {\overrightarrow {IC} ^2}\]

\[ = 4{\overrightarrow {NI} ^2} + 3{\overrightarrow {IA} ^2} + 2{\overrightarrow {IB} ^2} - {\overrightarrow {IC} ^2} = 4N{I^2} + 3I{A^2} + 2I{B^2} - I{C^2}\].

Do đó \(3N{A^2} + 2N{B^2} - N{C^2}\) nhỏ nhất khi \(NI\) nhỏ nhất suy ra \(N \equiv I\). Do đó \(N\left( { - \frac{3}{4};\frac{1}{2}; - 1} \right)\) . Chọn C.