Trong không gian Oxyz, cho ba điểm

43/234

Trong không gian \(Oxyz\), cho ba điểm \(A\left( {1;1;1} \right),B\left( {1;2;2} \right)\) và \(M\left( { - 4;7;3} \right)\). Mặt cầu \(\left( S \right)\) đi qua hai điểm \(A,B\) và tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) tại điểm \(C\). Độ dài lớn nhất của đoạn thẳng MC gần với giá trị nào sau đây?

10.

11.

12.

Giải thích

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Cực trị hình học.

Lời giải

Gọi tâm của mặt cầu \(\left( S \right)\) là \(I\left( {x;y;z} \right)\)

Theo bài ra ta có \(C\) là hình chiếu vuông góc của \(I\) lên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\), suy ra \(C\left( {x;y;0} \right)\)

Gọi là hình chiếu vuông góc của \(M\) lên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\), khi đó \(H\left( { - 4;7;0} \right)\) và \(HM = 3\)

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{A{I^2} = B{I^2}}\\{A{I^2} = C{I^2}}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y + z - 3}\\{x + y - 2x - 2y - 2z + 3 = 0}\end{array} \Rightarrow {{(x - 1)}^2} + {y^2} = 4} \right.} \right.\)

Vậy \(C\) thuộc đường tròn có tâm \(I'\left( {1;0;0} \right)\) và bán kính \(r = 3\) và có \(HI' = \sqrt {74} \)

Ta có \(M{C^2} = M{H^2} + H{C^2} = 4 + H{C^2}\)

Khi đó \(MC\) đạt giá trị lớn nhất khi \(HC\) đạt giá trị lớn nhất

Ta có \(HC \le HI' + r = \sqrt {74} + 2\)

Vậy \(MC\) lớn nhất khi \(MC = \sqrt {4 + H{C^2}} \approx 11,33\)