Trong không gian \(Oxyz\), cho ba điểm \(A\left( { - 1;1;2} \right),B\left( {3;2;2} \right),C\left( { - 1;6;0} \right)\). Xét

20/20

Trong không gian \(Oxyz\), cho ba điểm \(A\left( { - 1;1;2} \right),B\left( {3;2;2} \right),C\left( { - 1;6;0} \right)\). Xét \(M\left( {a;b;0} \right)\) trên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) sao cho biểu thức \(S = 2MA + \left| {\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó \(a + b\) bằng bao nhiêu (làm trònkết quả đến hàng phần mười)?

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Trung điểm của \(BC\) là \(I\left( {1;4;1} \right)\).Ta có \(S = 2MA + \left| {2\overrightarrow {MI} } \right| = 2\left( {MA + MI} \right)\).

Do điểm \(A\) và điểm \(I\) nằm cùng phía so với mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) nên \(MA + MI = MA' + MI\) với \(A'\left( { - 1;1; - 2} \right)\) là điểm đối xứng của \(A\) qua mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\).

Ta lại có \(S = 2\left( {MA' + MI} \right) \ge 2A'I\).Suy ra \(M \in \left( {Oxy} \right)\) và \(M,A',I\) thẳng hàng.

Khi đó, hai vectơ \(\overrightarrow {A'M} = \left( {a + 1;b - 1;2} \right)\), \(\overrightarrow {A'I} = \left( {2;3;3} \right)\) cùng phương.

Suy ra \(\frac{{a + 1}}{2} = \frac{{b - 1}}{3} = \frac{2}{3}\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{3}\\b = 3\end{array} \right.\).Vậy \(a + b = \frac{{10}}{3} \approx 3,3\).

Đáp án: \(3,3\).