Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(a; 0; 0), B(0 ; b; 0), C(0; 0; c) với a, b, c đều dương. Mặt phẳng (ABC) đi qua điểm M(2; −2; 3) sao cho độ dài OA, OB, OC theo thứ tự tạo thành cấp số cộ

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.                     b) Sai.                          c) Sai.                    d) Đúng.

a) Đúng. Mặt phẳng (ABC) có phương trình \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\).

b) Sai. Độ dài OA, OB, OC theo thứ tự tạo thành cấp số cộng có công sai bằng 2 nên b = a + 2, c = a + 4.

Do đó b + c = a + 2 + a + 4 = 2a + 6.

c) Sai. Vì A(a; 0; 0) nên OA = a, B(0; b; 0) nên OB = b, C(0; 0; c) nên OC = c.

Độ dài OA, OB, OC theo thứ tự tạo thành cấp số cộng có công sai bằng 2 nên b = a + 2, c = a + 4.

Khi đó phương trình mặt phẳng (ABC) có dạng: \(\frac{x}{a} + \frac{y}{{a + 2}} + \frac{z}{{a + 4}} = 1\).

Do (ABC) đi qua M(2; −2; 3) nên ta có:

\[\frac{2}{a} + \frac{{ - 2}}{{a + 2}} + \frac{3}{{a + 4}} = 1 \Leftrightarrow {a^3} + 3{a^2} - 2a - 16 = 0 \Leftrightarrow a = 2\].

Với a = 2 thì b = 4; c = 6.

Mặt phẳng (ABC) có phương trình \(\frac{x}{2} + \frac{y}{4} + \frac{z}{6} = 1 \Leftrightarrow 6x + 3y + 2z - 12 = 0\).

Vậy m + n + p = −3.

d) Đúng. Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là \(\overrightarrow n  = \left( {6;3;2} \right)\).