Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(2; 0; 0), B(0; 4; 0) và C(0; 0; 6). Gọi d là đường thẳng đi qua trọng tâm G của tam giác ABC và gốc tọa độ O. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.                     b) Sai.                    c) Đúng.                d) Đúng.

a) Đúng. Tính tọa độ trọng tâm G theo công thức:

\({x_G} = \frac{{2 + 0 + 0}}{3} = \frac{2}{3}\), \({y_G} = \frac{{0 + 4 + 0}}{3} = \frac{4}{3}\), \({z_G} = \frac{{0 + 0 + 6}}{3} = 2\). Vậy \(G\left( {\frac{2}{3};\frac{4}{3};2} \right)\).

b) Sai. Vectơ \(\overrightarrow {OG} \) có tọa độ chính bằng tọa độ điểm G, tức là \(\overrightarrow {OG}  = \left( {\frac{2}{3};\frac{4}{3};2} \right)\).

Vectơ (2; 4; 6) là \(3\overrightarrow {OG} \), không phải bản thân \(\overrightarrow {OG} \).

c) Đúng. Ta có \(3\overrightarrow {OG}  = \left( {2;4;6} \right) = 2\left( {1;2;3} \right)\). Rút gọn ta được vectơ \(\vec u = \left( {1;2;3} \right)\) cùng phương với \(\overrightarrow {OG} \), do đó \(\vec u\) hợp lệ để làm vectơ chỉ phương của d.

d) Đúng. Đường thẳng d đi qua O(0; 0; 0) và nhận \(\vec u = \left( {1;2;3} \right)\) làm vectơ chỉ phương, thiết lập được phương trình chính tắc