Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(2;0;0); B(0;4;0); C(0;0;6). Gọi M là điểm thay đổi trên mặt phẳng ABC và N là điểm thuộc tia OM sao cho OM.ON = 12

45/235

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(2;0;0); B(0;4;0); C(0;0;6). Gọi M là điểm thay đổi trên mặt phẳng ABC và N là điểm thuộc tia OM sao cho OM.ON = 12. Biết rằng khi M di động trên mặt phẳng (ABC) điểm N luôn nằm trên một mặt cầu cố định. Tính bán kính của mặt cầu đó (nhập đáp án vào ô trống).

Đáp án: ____

Click vào chỗ trống để nhập đáp án. Nhấn Enter để xác nhận, Esc để hủy.

Giải thích

Đáp án đúng là "7/2"

Phương pháp giải

Lời giải

Phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right):\frac{x}{2} + \frac{y}{4} + \frac{z}{6} = 1 \Leftrightarrow 6x + 3y + 2z - 12 = 0\).

Gọi \(N\left( {x,y,z} \right)\). Vì \(N\) là điểm thuộc tia \(OM\) sao cho \(OM.ON = 12\) nên \(\overrightarrow {OM} = \frac{{12}}{{O{N^2}}}\overrightarrow {ON} \).

Do đó \(M\left( {\frac{{12x}}{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}};\frac{{12y}}{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}};\frac{{12z}}{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}} \right)\).

Mặt khác \(M \in \left( {ABC} \right)\) nên

\(6.\frac{{12x}}{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}} + 3.\frac{{12y}}{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}} + 2.\frac{{12z}}{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}} - 12 = 0\)

\( \Leftrightarrow 6x + 3y + 2z - \left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right) = 0 \Leftrightarrow {(x - 3)^2} + {\left( {y - \frac{3}{2}} \right)^2} + {(z - 1)^2} = \frac{{49}}{4}\).

Vậy \(N\) luôn nằm trên mặt cầu cố định \({(x - 3)^2} + {\left( {y - \frac{3}{2}} \right)^2} + {(z - 1)^2} = \frac{{49}}{4}\) có bán kính \(R = \frac{7}{2}\).